Calcule a integral de linha ao longo da curva C.
integralc(y cdot z) cdot d x-(x cdot z) cdot d y+(x cdot y) cdot d z
C: x=e^t, y=e^3 t, e^-t (0 <= t <= 1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
integralC (y,z),dx ;-;(x,z),dy ;+;(x,y),dz
ao longo da curva C dada por
x=e^t, y=e^3t, z=e^-t, 0<= t<=1
Esse é um caso clássico de integral de uma 1-forma P,dx+Q,dy+R,dz via parametrização.

Passo 2

Parametrizamos e obtemos as derivadas:
x(t)=e^t, y(t)=e^3t, z(t)=e^-t,
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dx = x'(t),dt = e^t,dt, dy = y'(t),dt = 3e^3t,dt, dz = z'(t),dt = -e^-t,dt

Passo 3

Identificamos
P=y,z=e^3t,e^-t=e^2t, Q=-x,z=-e^t,e^-t=-1, R=x,y=e^t,e^3t=e^4t
Substituindo em P,dx+Q,dy+R,dz e trocando dx,dy,dz por suas expressões:
P,dx = e^2tcdot e^t,dt = e^3t,dt,
Q,dy = (-1)cdot(3e^3t,dt) = -3e^3t,dt,
R,dz = e^4tcdot(-e^-t,dt) = -e^3t,dt
Somando os três termos:
e^3t-3e^3t-e^3t = -3e^3t

Passo 4

Agora integramos no intervalo 0<= t<=1:
integral0^1 -3e^3t,dt = -3integral0^1 e^3t,dt = -3cdot13l[e^3tr]0^1 = -l(e^3-1r) = 1 - e^3

Resposta

1 - e^3

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