Questão 2. Um aluno afirmou que o volume do sólido limitado por
z=x^{2}+y^{2} \quad \text { e } \quad z=4
é dado por
\int_{0}^{4} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} r d r d \theta d z
(a) Identifique e explique o erro conceitual.
(b) Corrija a integral e justifique cada limite.

Passo 1

O enunciado dá o sólido limitado pelas superfícies
z = x^{2}+y^{2}
e
z = 4.
O aluno propôs a integral
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\,dr\,d\theta\,dz.
As tarefas pedidas são:
(a) identificar e explicar o erro conceitual nessa integral proposta;
(b) corrigir a integral (em coordenadas cilíndricas) e justificar cada limite escolhido.

Passo 2

Pequena revisão (muito importante): coordenadas cilíndricas e razão do fator r.
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
onde r\ge 0 é a distância ao eixo z e \theta é o ângulo no plano xy.
  • O elemento de volume vale
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: é o jacobiano da mudança de variáveis (x,y)\mapsto(r,\theta). Intuitivamente, um retângulo em (r,\theta) de lados dr e d\theta corresponde a uma peça de área aproximadamente r\,dr\,d\theta no plano, por isso aparece o fator r ao calcular volumes.

Passo 3

Descrição geométrica do sólido (para entender limites).
  • A superfície inferior é z = x^{2}+y^{2}. Em cilíndricas isto é z = r^{2}.
  • A superfície superior é z = 4.
  • A interseção entre as duas é dada por r^{2}=4, isto é r=2.
    Logo o sólido consiste de todos os pontos com
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 2,\qquad r^{2}\le z\le 4.
Observação prática: para um r fixo (distância ao eixo), z varia de r^{2} até 4. Mas para um z fixo (altura), os pontos do plano têm r limitados por r\le\sqrt{z}. Essa dependência é o ponto chave para os limites.

Passo 4

Identificando o erro do aluno (resposta a (a)).
  • A integral proposta
\int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\,dr\,d\theta\,dz
trata r e \theta como se, para todo z entre 0 e 4, a seção transversal em z fosse o disco completo de raio 2. Mas isso é falso: para uma dada altura z a seção transversal do sólido é o disco de raio \sqrt{z} (pois a condição é r^{2}\le z), que só alcança raio 2 quando z=4. Assim a integral do aluno conta, para alturas pequenas, pontos que não pertencem ao sólido — ele integrou um cilindro de raio 2 e altura 4, não o sólido entre paraboloide e plano.
  • Em resumo: o erro conceitual é usar limites independentes (fixos) para r e z que não respeitam a relação z\ge r^{2} que define o sólido. Ou dito de outro modo: os limites de r e z não foram escolhidos de acordo com a geometria da região.

Passo 5

Corrigindo a integral (resposta a (b)) — forma mais direta (integrando z por último do interior).
  • Como explicado, para cada (r,\theta) com 0\le r\le 2 e 0\le\theta\le 2\pi a coordenada z varia entre z=r^{2} (paraboloide) e z=4 (plano). Portanto uma forma correta da integral em coordenadas cilíndricas é
\boxed{\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta.}
Justificativa dos limites:
  • \theta vai de 0 a 2\pi porque o sólido é rotacionalmente simétrico em torno do eixo z — precisa-se cobrir toda a volta.
  • r vai de 0 a 2 porque a interseção das superfícies ocorre em r=2; a projeção do sólido no plano xy é o disco de raio 2.
  • Para um r fixo, z vai de r^{2} (parte de baixo) até 4 (parte de cima), portanto limite inferior r^{2} e superior 4.
  • O fator r já está presente no integrando por causa do jacobiano.

Passo 6

Forma alternativa (integrando z primeiro, útil para visualizar o erro do aluno).
  • Se preferir ter z como variável externa (integral com dz por último no sentido de escrita), é preciso fazer r depender de z: para um z fixo a seção é o disco 0\le r\le\sqrt{z}. Assim outra forma correta é
\boxed{\displaystyle \int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{z}} r\,dr\,d\theta\,dz.}
Essa forma deixa claro o erro do aluno: ele colocou r até 2 para todo z, quando na verdade o limite superior de r para um dado z é \sqrt{z}.

Passo 7

(check rápido — calcular o volume para conferir).
  • Usando a primeira forma,
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r(4-r^{2})\,dr\,d\theta.
  • Integrando em r:
\int_{0}^{2} (4r-r^{3})\,dr = \left[2r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{2} = 8-4 =4.
  • Integrando em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi} 4\,d\theta = 8\pi.
Portanto o volume do sólido é 8\pi (apenas para conferir que a integral corrigida faz sentido).

Resposta

(a) O erro é tratar os limites de r e z como independentes: a integral proposta integra o disco de raio 2 para toda altura 0\le z\le4 (um cilindro), ignorando a relação geométrica z\ge r^{2} do paraboloide; portanto os limites não descrevem o sólido correto.
(b) Correção (duas formas equivalentes):
\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{r^{2}}^{4} r\,dz\,dr\,d\theta
ou
\displaystyle \int_{0}^{4}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\sqrt{z}} r\,dr\,d\theta\,dz.

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