Questão 2. Um aluno afirmou que o volume do sólido limitado por
é dado por
(a) Identifique e explique o erro conceitual.
(b) Corrija a integral e justifique cada limite.
(b) Corrija a integral e justifique cada limite.
Passo 1
O enunciado dá o sólido limitado pelas superfícies
e
O aluno propôs a integral
As tarefas pedidas são:
(a) identificar e explicar o erro conceitual nessa integral proposta;
(b) corrigir a integral (em coordenadas cilíndricas) e justificar cada limite escolhido.
(a) identificar e explicar o erro conceitual nessa integral proposta;
(b) corrigir a integral (em coordenadas cilíndricas) e justificar cada limite escolhido.
Passo 2
Pequena revisão (muito importante): coordenadas cilíndricas e razão do fator
.
- Em coordenadas cilíndricas usa-se
onde
é a distância ao eixo
e
é o ângulo no plano
.
- O elemento de volume vale
Explicação do
: é o jacobiano da mudança de variáveis
. Intuitivamente, um retângulo em
de lados
e
corresponde a uma peça de área aproximadamente
no plano, por isso aparece o fator
ao calcular volumes.
Passo 3
Descrição geométrica do sólido (para entender limites).
- A superfície inferior é
. Em cilíndricas isto é . - A superfície superior é
. - A interseção entre as duas é dada por
, isto é .
Logo o sólido consiste de todos os pontos com
Observação prática: para um
fixo (distância ao eixo),
varia de
até
. Mas para um
fixo (altura), os pontos do plano têm
limitados por
. Essa dependência é o ponto chave para os limites.
Passo 4
Identificando o erro do aluno (resposta a (a)).
- A integral proposta
trata
e
como se, para todo
entre
e
, a seção transversal em
fosse o disco completo de raio
. Mas isso é falso: para uma dada altura
a seção transversal do sólido é o disco de raio
(pois a condição é
), que só alcança raio
quando
. Assim a integral do aluno conta, para alturas pequenas, pontos que não pertencem ao sólido — ele integrou um cilindro de raio
e altura
, não o sólido entre paraboloide e plano.
- Em resumo: o erro conceitual é usar limites independentes (fixos) para
e que não respeitam a relação que define o sólido. Ou dito de outro modo: os limites de e não foram escolhidos de acordo com a geometria da região.
Passo 5
Corrigindo a integral (resposta a (b)) — forma mais direta (integrando
por último do interior).
- Como explicado, para cada
com e a coordenada varia entre (paraboloide) e (plano). Portanto uma forma correta da integral em coordenadas cilíndricas é
Justificativa dos limites:
-
vai de a porque o sólido é rotacionalmente simétrico em torno do eixo — precisa-se cobrir toda a volta. -
vai de a porque a interseção das superfícies ocorre em ; a projeção do sólido no plano é o disco de raio . - Para um
fixo, vai de (parte de baixo) até (parte de cima), portanto limite inferior e superior . - O fator
já está presente no integrando por causa do jacobiano.
Passo 6
Forma alternativa (integrando
primeiro, útil para visualizar o erro do aluno).
- Se preferir ter
como variável externa (integral com por último no sentido de escrita), é preciso fazer depender de : para um fixo a seção é o disco . Assim outra forma correta é
Essa forma deixa claro o erro do aluno: ele colocou
até
para todo
, quando na verdade o limite superior de
para um dado
é
.
Passo 7
(check rápido — calcular o volume para conferir).
- Usando a primeira forma,
- Integrando em
:
- Integrando em
:
Portanto o volume do sólido é
(apenas para conferir que a integral corrigida faz sentido).
Resposta
(a) O erro é tratar os limites de
e
como independentes: a integral proposta integra o disco de raio
para toda altura
(um cilindro), ignorando a relação geométrica
do paraboloide; portanto os limites não descrevem o sólido correto.
(b) Correção (duas formas equivalentes):
ou
.
(b) Correção (duas formas equivalentes):
ou