Questão 4. Sem efetuar cálculos:
(a) O valor de \iiint_{E} z d V pode ser negativo se E \subset\{z \geq 0\} ? Justifique.
(b) Relacione sua resposta ao conceito de valor médio.

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas principais:
  • (a) Se o valor de \displaystyle \iiint_{E} z\, dV pode ser negativo quando E\subset\{z\geq 0\}.
  • (b) Relacionar a resposta de (a) ao conceito de valor médio da função sobre a região E.
Informações dadas:
  • A região E está contida em \{z\geq 0\}, isto é, para todo ponto (x,y,z)\in E vale z\geq 0.
  • O integral considerado é o integral triplo \displaystyle \iiint_{E} z\, dV.

Passo 2

Entendendo o que o integral representa (intuição e propriedade básica).
Quando fazemos \displaystyle \iiint_{E} z\, dV estamos somando (integrando) valores de z em cada pedacinho infinitesimal de volume dentro de E. Se em cada pedacinho o valor somado é não negativo, então a soma total também não pode ser negativa. Em linguagem matemática simples: se uma função f satisfaz f(\mathbf{x})\geq 0 para todo \mathbf{x}\in E, então
\iiint_{E} f(\mathbf{x})\,dV \geq 0.
Essa é uma propriedade elementar dos integrais: integral de função não negativa é não negativa. A justificativa é intuitiva (soma de quantidades não negativas é não negativa) e pode ser formalizada pelo processo de somas de Riemann.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso.
Aqui a função que estamos integrando é f(x,y,z)=z. Como E\subset\{z\geq 0\}, para todo (x,y,z)\in E tem z\geq 0. Portanto f\geq 0 em E e, pela propriedade do passo anterior,
\iiint_{E} z\, dV \geq 0.
Conclusão imediata para (a): o integral não pode ser negativo. Pode ser igual a zero em casos especiais (por exemplo se E tem volume zero ou se z=0 quase em toda parte em E), e será estritamente positivo se E possui um subconjunto de volume positivo onde z>0.

Passo 4

Definindo o valor médio (muito devagar, como em sala):
O valor médio de uma função f sobre uma região E de volume positivo é definido por
\overline{f}=\frac{1}{\mathrm{Vol}(E)}\iiint_{E} f\,dV,
onde \mathrm{Vol}(E)=\iiint_{E} 1\,dV é o volume de E. Aqui \overline{f} é uma única constante que representa a “média” dos valores de f em E.

Passo 5

Relacionando o valor médio com o sinal do integral (resposta a (b)).
Usando a definição do passo anterior com f=z e assumindo \mathrm{Vol}(E)>0, tem-se a identidade
\iiint_{E} z\,dV = \mathrm{Vol}(E)\cdot \overline{z}.
Como z\geq 0 em E, o valor médio \overline{z} também satisfaz \overline{z}\geq 0. Logo o produto \mathrm{Vol}(E)\cdot \overline{z} é não negativo. Em palavras: o integral é o volume vezes a média; se a média é não negativa, o integral não pode ser negativo. Novamente, igualdade zero ocorre se e somente se \overline{z}=0 (ou \mathrm{Vol}(E)=0), isto é, se z=0 quase em toda parte em E.

Passo 6

Resumo final e um empurrãozinho motivacional:
  • A razão pela qual o integral não pode ser negativo é simples e intuitiva: está somando somente alturas não negativas.
  • Pensar como “integral = volume × média” ajuda muito na prova: se a média é não negativa, a integral também é não negativa. Vai dar tudo certo — respira, essa questão é de raciocínio conceitual, não de contas.

Resposta

(a) Não; \displaystyle \iiint_{E} z\,dV\geq 0 se E\subset\{z\geq 0\}.
(b) Como \displaystyle \overline{z}=\frac{1}{\mathrm{Vol}(E)}\iiint_{E} z\,dV, tem \iiint_{E} z\,dV=\mathrm{Vol}(E)\,\overline{z}; se z\geq0 então \overline{z}\geq0 e portanto o integral não pode ser negativo.

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