Questão 4. Sem efetuar cálculos:
(a) O valor de
pode ser negativo se
? Justifique.
(b) Relacione sua resposta ao conceito de valor médio.
(a) O valor de
(b) Relacione sua resposta ao conceito de valor médio.
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas principais:
- (a) Se o valor de
pode ser negativo quando . - (b) Relacionar a resposta de (a) ao conceito de valor médio da função sobre a região
.
Informações dadas:
- A região
está contida em , isto é, para todo ponto vale . - O integral considerado é o integral triplo
.
Passo 2
Entendendo o que o integral representa (intuição e propriedade básica).
Quando fazemos estamos somando (integrando) valores de
em cada pedacinho infinitesimal de volume dentro de
. Se em cada pedacinho o valor somado é não negativo, então a soma total também não pode ser negativa. Em linguagem matemática simples: se uma função
satisfaz
para todo
, então
Quando fazemos
Essa é uma propriedade elementar dos integrais: integral de função não negativa é não negativa. A justificativa é intuitiva (soma de quantidades não negativas é não negativa) e pode ser formalizada pelo processo de somas de Riemann.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso.
Aqui a função que estamos integrando é . Como
, para todo
tem
. Portanto
em
e, pela propriedade do passo anterior,
Aqui a função que estamos integrando é
Conclusão imediata para (a): o integral não pode ser negativo. Pode ser igual a zero em casos especiais (por exemplo se
tem volume zero ou se
quase em toda parte em
), e será estritamente positivo se
possui um subconjunto de volume positivo onde
.
Passo 4
Definindo o valor médio (muito devagar, como em sala):
O valor médio de uma função sobre uma região
de volume positivo é definido por
O valor médio de uma função
onde
é o volume de
. Aqui
é uma única constante que representa a “média” dos valores de
em
.
Passo 5
Relacionando o valor médio com o sinal do integral (resposta a (b)).
Usando a definição do passo anterior com e assumindo
, tem-se a identidade
Usando a definição do passo anterior com
Como
em
, o valor médio
também satisfaz
. Logo o produto
é não negativo. Em palavras: o integral é o volume vezes a média; se a média é não negativa, o integral não pode ser negativo. Novamente, igualdade zero ocorre se e somente se
(ou
), isto é, se
quase em toda parte em
.
Passo 6
Resumo final e um empurrãozinho motivacional:
- A razão pela qual o integral não pode ser negativo é simples e intuitiva: está somando somente alturas não negativas.
- Pensar como “integral = volume × média” ajuda muito na prova: se a média é não negativa, a integral também é não negativa. Vai dar tudo certo — respira, essa questão é de raciocínio conceitual, não de contas.
Resposta
(a) Não;
se
.
(b) Como , tem
; se
então
e portanto o integral não pode ser negativo.
(b) Como