Questão 3. Considere o sólido
(a) Explique por que coordenadas esféricas são apropriadas.
(b) Descreva geometricamente o domínio.
(c) Discuta o que mudaria se fosse imposto
.
(b) Descreva geometricamente o domínio.
(c) Discuta o que mudaria se fosse imposto
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
-
Dados do enunciado:
- A região é definida por
. - Há a restrição adicional
.
- A região é definida por
-
O que o enunciado pede:
- (a) Explicar por que coordenadas esféricas são apropriadas.
- (b) Descrever geometricamente o domínio.
- (c) Discutir o que mudaria se impuséssemos também
.
Passo 2
Explicando o que são coordenadas esféricas (do jeito que precisa saber para a prova) e por que elas são úteis aqui.
-
Definição das coordenadas esféricas usadas aqui:
-
é a distância do ponto à origem (ou seja, ). -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo (ângulo medido a partir do eixo ). -
é o ângulo no plano , medido a partir do eixo positivo (o “azimutal”).
-
-
Conversões (fórmulas básicas — decore essas para fazer exercícios):Aqui cada variável significa:
-
(distância radial), -
(do pólo norte ao pólo sul), -
(percorre o plano ).
-
-
Por que isso é apropriado para o nosso domínio:
- A equação
depende apenas da distância ao centro: em coordenadas esféricas ela fica simplesmente , ou seja . Isso transforma uma superfície esférica complicada em uma condição simples e constante sobre . - A condição
fica simples também: como , ter equivale a , ou seja . Portanto tanto a fronteira radial quanto a fronteira em viram limites constantes em e .
- A equação
-
Elemento de volume (essencial para integrais): em coordenadas esféricasBreve justificativa intuitiva: um pequeno elemento de volume na vizinhança de
tem tamanho aproximado . Não precisa memorizar a derivação completa agora, mas entenda essa razão geométrica: e são os arcos nas duas direções angulares.
Passo 3
Montando a integral de volume com essas observações e calculando (exemplo prático — faça assim na prova).
-
Pela observação em coordenadas esféricas, os limites naturais para o domínio original são:(Explicação rápida:
vem da esfera de raio ; vem de ; percorre todo o círculo porque não há restrição em nem .) -
Integral do volume:Vamos calcular passo a passo (sem pular etapas):
- Integral em
: - Agora a integral em
(note que o resultado acima é constante em ): - Finalmente a integral em
: - Multiplicando tudo:
Observação interpretativa: esse é exatamente metade do volume de uma esfera de raio, como esperado, porque impusemos (metade superior do bolo). - Integral em
Passo 4
Descrição geométrica detalhada do domínio (para você visualizar e saber falar disso na prova).
- O domínio é o sólido dentro da esfera de raio
centrada na origem, limitado à metade superior pelo plano . Em linguagem simples: é a “semiesfera sólida” de raio , incluindo a base plana. - Fronteiras do sólido:
- Parte superior/curva: a casca esférica dada por
com (equivalente a ). - Parte inferior/plana: o disco plano
com (equivalente a ). - A aresta entre as duas é o círculo de raio
no plano .
- Parte superior/curva: a casca esférica dada por
- Em coordenadas cartesianas também dá para descrever: todas as
com e . Mas isso dá um limite de dependente de , que é mais chato para integrar — por isso as esféricas são mais limpas.
Passo 5
O que muda se impusermos
também (parte (c)), e como ajustar nos limites esféricos.
- Interpretação geométrica: a condição
corta o volume pela metade ao longo do plano . Intersecção com a semiesfera produz um sólido que é um quarto de bola (um “quadrante” do interior da esfera): metade da semiesfera original. - Em coordenadas esféricas a condição
é Com a escolha padrão , isso significa que Porém é muitas vezes mais prático (e mais simétrico) usar um intervalo centrado em zero para , por exemplo porque aí nesse intervalo. Ambos representam a mesma meia-volta no círculo . - Portanto, com
os limites ficam convenientemente: - Volume do sólido com
e : basta metade do volume que calculamos antes, ou calcular diretamente: O cálculo é idêntico ao anterior, só com integrando sobre um intervalo de comprimento (em vez de ), logo o resultado é metade de , ou seja - Fronteiras adicionais: a nova fronteira vertical é o semiplano
que entra como uma superfície plana delimitando o sólido; na linguagem de , isso corresponde a .
Passo 6
Dicas rápidas para a prova (como eu faria na hora, passo a passo):
- Sempre verifique se a equação do sólido depende só de
— isso é um sinal forte para usar esféricas. - Traduza cada condição geométrica (
, , etc.) para usando e . - Lembre-se do elemento de volume
e monte o integral com limites constantes sempre que possível — fica muito mais simples que usar coordenadas cartesianas.
Resposta
(a) Coordenadas esféricas são apropriadas porque a condição
vira
(limite radial constante) e
vira
, tornando os limites simples; em esféricas usa-se
e
.
(b) O domínio é a semiesfera sólida de raio (metade superior da bola de raio
), incluindo o disco base
; em esféricas:
. O volume é
.
(c) Impondo também obtém-se o quarto de bola (interseção da semiesfera com o semi-espaço
), que em esféricas tem
(ou equivalente
); o volume fica
.
(b) O domínio é a semiesfera sólida de raio
(c) Impondo também