Questão 3. Considere o sólido
x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4, \quad z \geq 0
(a) Explique por que coordenadas esféricas são apropriadas.
(b) Descreva geometricamente o domínio.
(c) Discuta o que mudaria se fosse imposto x \geq 0.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para não nos perdermos.
  • Dados do enunciado:
    • A região é definida por x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 4.
    • Há a restrição adicional z \geq 0.
  • O que o enunciado pede:
    • (a) Explicar por que coordenadas esféricas são apropriadas.
    • (b) Descrever geometricamente o domínio.
    • (c) Discutir o que mudaria se impuséssemos também x \geq 0.

Passo 2

Explicando o que são coordenadas esféricas (do jeito que precisa saber para a prova) e por que elas são úteis aqui.
  • Definição das coordenadas esféricas usadas aqui:
    • \rho é a distância do ponto à origem (ou seja, \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}).
    • \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo (ângulo medido a partir do eixo z).
    • \theta é o ângulo no plano xy, medido a partir do eixo x positivo (o “azimutal”).
  • Conversões (fórmulas básicas — decore essas para fazer exercícios):
    x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
    Aqui cada variável significa:
    • \rho\in[0,\infty) (distância radial),
    • \varphi\in[0,\pi] (do pólo norte ao pólo sul),
    • \theta\in[0,2\pi) (percorre o plano xy).
  • Por que isso é apropriado para o nosso domínio:
    • A equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4\, depende apenas da distância ao centro: em coordenadas esféricas ela fica simplesmente \rho^{2}\le 4, ou seja \rho\le 2. Isso transforma uma superfície esférica complicada em uma condição simples e constante sobre \rho.
    • A condição z\ge 0 fica simples também: como z=\rho\cos\varphi, ter z\ge 0 equivale a \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Portanto tanto a fronteira radial quanto a fronteira em z viram limites constantes em \rho e \varphi.
  • Elemento de volume (essencial para integrais): em coordenadas esféricas
    dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
    Breve justificativa intuitiva: um pequeno elemento de volume na vizinhança de (\rho,\varphi,\theta) tem tamanho aproximado (d\rho)\times(\rho\,d\varphi)\times(\rho\sin\varphi\,d\theta)=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Não precisa memorizar a derivação completa agora, mas entenda essa razão geométrica: \rho d\varphi e \rho\sin\varphi d\theta são os arcos nas duas direções angulares.

Passo 3

Montando a integral de volume com essas observações e calculando (exemplo prático — faça assim na prova).
  • Pela observação em coordenadas esféricas, os limites naturais para o domínio original são:
    0\le \rho\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta<2\pi.
    (Explicação rápida: \rho\le2 vem da esfera de raio 2; \varphi\le\pi/2 vem de z\ge0; \theta percorre todo o círculo porque não há restrição em x nem y.)
  • Integral do volume:
    V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
    Vamos calcular passo a passo (sem pular etapas):
    1. Integral em \rho: \int_{0}^{2}\rho^{2}\,d\rho=\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.
    2. Agora a integral em \varphi (note que o resultado acima é constante em \varphi,\theta): \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi=\left[-\cos\varphi\right]_{0}^{\pi/2}=-(0-1)=1.
    3. Finalmente a integral em \theta: \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi.
    4. Multiplicando tudo: V=\frac{8}{3}\times 1\times 2\pi=\frac{16\pi}{3}.
    Observação interpretativa: esse é exatamente metade do volume de uma esfera de raio 2, como esperado, porque impusemos z\ge0 (metade superior do bolo).

Passo 4

Descrição geométrica detalhada do domínio (para você visualizar e saber falar disso na prova).
  • O domínio é o sólido dentro da esfera de raio 2 centrada na origem, limitado à metade superior pelo plano z=0. Em linguagem simples: é a “semiesfera sólida” de raio 2, incluindo a base plana.
  • Fronteiras do sólido:
    • Parte superior/curva: a casca esférica dada por x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 com z\ge 0 (equivalente a \rho=2,\;0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2}).
    • Parte inferior/plana: o disco plano z=0 com x^{2}+y^{2}\le 4 (equivalente a \varphi=\tfrac{\pi}{2},\;0\le\rho\le2).
    • A aresta entre as duas é o círculo de raio 2 no plano z=0.
  • Em coordenadas cartesianas também dá para descrever: todas as (x,y,z) com z\in[0,\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}] e x^{2}+y^{2}\le 4. Mas isso dá um limite de z dependente de x,y, que é mais chato para integrar — por isso as esféricas são mais limpas.

Passo 5

O que muda se impusermos x\ge 0 também (parte (c)), e como ajustar nos limites esféricos.
  • Interpretação geométrica: a condição x\ge 0 corta o volume pela metade ao longo do plano x=0. Intersecção com a semiesfera z\ge 0 produz um sólido que é um quarto de bola (um “quadrante” do interior da esfera): metade da semiesfera original.
  • Em coordenadas esféricas a condição x\ge 0 é x=\rho\sin\varphi\cos\theta\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta\ge 0.Com a escolha padrão \theta\in[0,2\pi), isso significa que \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[3\tfrac{\pi}{2},2\pi).Porém é muitas vezes mais prático (e mais simétrico) usar um intervalo centrado em zero para \theta, por exemplo \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],porque aí \cos\theta\ge0 nesse intervalo. Ambos representam a mesma meia-volta no círculo \theta.
  • Portanto, com x\ge 0 os limites ficam convenientemente: 0\le \rho\le 2,\qquad 0\le \varphi\le \tfrac{\pi}{2},\qquad \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Volume do sólido com x\ge 0 e z\ge 0: basta metade do volume que calculamos antes, ou calcular diretamente: V_{\text{com }x\ge0}=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{\pi/2}\int_{0}^{2}\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.O cálculo é idêntico ao anterior, só com \theta integrando sobre um intervalo de comprimento \pi (em vez de 2\pi), logo o resultado é metade de 16\pi/3, ou seja V_{\text{com }x\ge0}=\frac{8\pi}{3}.
  • Fronteiras adicionais: a nova fronteira vertical é o semiplano x=0 que entra como uma superfície plana delimitando o sólido; na linguagem de \theta, isso corresponde a \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Dicas rápidas para a prova (como eu faria na hora, passo a passo):
  • Sempre verifique se a equação do sólido depende só de x^{2}+y^{2}+z^{2} — isso é um sinal forte para usar esféricas.
  • Traduza cada condição geométrica ( z\ge0, x\ge0, etc.) para \rho,\varphi,\theta usando z=\rho\cos\varphi e x=\rho\sin\varphi\cos\theta.
  • Lembre-se do elemento de volume \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta e monte o integral com limites constantes sempre que possível — fica muito mais simples que usar coordenadas cartesianas.

Resposta

(a) Coordenadas esféricas são apropriadas porque a condição x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 4 vira \rho\le 2 (limite radial constante) e z\ge0 vira \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}], tornando os limites simples; em esféricas usa-se x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\;y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\;z=\rho\cos\varphi e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
(b) O domínio é a semiesfera sólida de raio 2 (metade superior da bola de raio 2), incluindo o disco base z=0,\;x^{2}+y^{2}\le4; em esféricas: 0\le\rho\le2,\;0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2},\;0\le\theta<2\pi. O volume é \dfrac{16\pi}{3}.
(c) Impondo também x\ge0 obtém-se o quarto de bola (interseção da semiesfera com o semi-espaço x\ge0), que em esféricas tem 0\le\rho\le2,\;0\le\varphi\le\tfrac{\pi}{2},\;\theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] (ou equivalente \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\cup[3\tfrac{\pi}{2},2\pi)); o volume fica \dfrac{8\pi}{3}.

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