Questão 5: Análise de Custo Médio. Dada a função custo \mathbf{C}(\mathbf{x})=\mathbf{2 0 + 3 x}, mostre que o custo médio C m e(x)=C(x) / x é sempre decrescente para \mathrm{x}>0.

Passo 1

O enunciado dá a função custo C(x)=20+3x e pede para mostrar que o custo médio Cm(x)=C(x)/x é sempre decrescente para x>0.
Informações relevantes fornecidas:
C(x)=20+3x
Domínio considerado: x>0.
O que é pedido: provar que a função Cm(x)=\dfrac{C(x)}{x} é decrescente em todo o intervalo x>0.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a expressão do custo médio. Por definição,
Cm(x)=\frac{C(x)}{x}.
Substituindo C(x)=20+3x obtemos
Cm(x)=\frac{20+3x}{x}.
Agora simplificamos dividindo cada termo pelo x:
Cm(x)=\frac{20}{x}+3.
Aqui eu dividi 20+3x por x termo a termo: \dfrac{20}{x}+\dfrac{3x}{x}=\dfrac{20}{x}+3.

Passo 3

Antes de usar cálculo, olhe um pouco a intuição com números (isso ajuda a confiar no resultado). Calculemos alguns valores:
Cm(1)=\frac{20}{1}+3=23,
Cm(2)=\frac{20}{2}+3=10+3=13,
Cm(4)=\frac{20}{4}+3=5+3=8.
Vemos que 23>13>8: conforme x aumenta, Cm(x) diminui — já dá uma pista de que é decrescente.

Passo 4

Agora vamos usar uma ferramenta padrão para provar monotonicidade: a derivada. Vou explicar rapidamente o que é e por que funciona. A derivada f'(x) de uma função f em um ponto mede a taxa de variação instantânea (o “inclinação” da curva). Um fato importante (critério da primeira derivada) é:
se f'(x)<0 para todo x em um intervalo, então f é estritamente decrescente nesse intervalo.
Também preciso das regras básicas de derivação que vamos usar:
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A regra do expoente (power rule): \displaystyle\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é essa constante vezes a derivada da função.

Passo 5

Reescrevemos Cm(x) numa forma conveniente para derivar:
Cm(x)=20\cdot x^{-1}+3.
Aqui usei a notação x^{-1}=\dfrac{1}{x}, que facilita aplicar a regra do expoente.
Agora aplicamos as regras:
  • A derivada de 20\cdot x^{-1} é 20 vezes a derivada de x^{-1}.
  • Pela regra do expoente, \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}.
Portanto,
Cm'(x)=20\cdot(-1)x^{-2}+0.

Passo 6

Simplificando a expressão anterior:
Cm'(x)=-20 x^{-2}.
Escrevendo de forma fracionária:
Cm'(x)=-\frac{20}{x^{2}}.

Passo 7

Analise do sinal da derivada para x>0:
  • Para x>0 temos x^{2}>0.
  • Então \dfrac{20}{x^{2}}>0.
  • Com o sinal negativo em frente, -\dfrac{20}{x^{2}}<0.
Logo Cm'(x)<0 para todo x>0.
Pelo critério da primeira derivada, isso implica que Cm(x) é estritamente decrescente em todo o intervalo x>0.

Resposta

Cm(x)=\dfrac{20}{x}+3 e Cm'(x)=-\dfrac{20}{x^{2}}<0 para x>0. Portanto, Cm é decrescente em x>0.

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