Questão 5: Análise de Custo Médio. Dada a função custo
, mostre que o custo médio
é sempre decrescente para
.
Passo 1
O enunciado dá a função custo
e pede para mostrar que o custo médio
é sempre decrescente para
.
Informações relevantes fornecidas:
Domínio considerado:
.
O que é pedido: provar que a função
é decrescente em todo o intervalo
.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a expressão do custo médio. Por definição,
Substituindo
obtemos
Agora simplificamos dividindo cada termo pelo
:
Aqui eu dividi
por
termo a termo:
.
Passo 3
Antes de usar cálculo, olhe um pouco a intuição com números (isso ajuda a confiar no resultado). Calculemos alguns valores:
Vemos que
: conforme
aumenta,
diminui — já dá uma pista de que é decrescente.
Passo 4
Agora vamos usar uma ferramenta padrão para provar monotonicidade: a derivada. Vou explicar rapidamente o que é e por que funciona. A derivada
de uma função
em um ponto mede a taxa de variação instantânea (o “inclinação” da curva). Um fato importante (critério da primeira derivada) é:
se para todo
em um intervalo, então
é estritamente decrescente nesse intervalo.
se
Também preciso das regras básicas de derivação que vamos usar:
- A derivada de uma constante é
. - A regra do expoente (power rule):
. - A derivada de uma constante multiplicada por uma função é essa constante vezes a derivada da função.
Passo 5
Reescrevemos
numa forma conveniente para derivar:
Aqui usei a notação
, que facilita aplicar a regra do expoente.
Agora aplicamos as regras:
- A derivada de
é vezes a derivada de . - Pela regra do expoente,
.
Portanto,
Passo 6
Simplificando a expressão anterior:
Escrevendo de forma fracionária:
Passo 7
Analise do sinal da derivada para
:
- Para
temos . - Então
. - Com o sinal negativo em frente,
.
Logo
para todo
.
Pelo critério da primeira derivada, isso implica que
é estritamente decrescente em todo o intervalo
.