Questão 2: Maximização de Lucro. Com relação ao exercício anterior (demanda \mathbf{P = 4 0 - 2 x} ), que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for \mathbf{C}(\mathbf{x})=\mathbf{4 0 + 2 x} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
  • Dados fornecidos:
    • A função demanda (preço em função da quantidade) é \;P(x)=40-2x\;.
    • A função custo é \;C(x)=40+2x\;.
    • Aqui \;x\; representa a quantidade vendida (unidades) e \;P(x)\; é o preço por unidade correspondente a essa quantidade.
  • O que o exercício pede:
    • Determinar qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro.

Passo 2

Vamos definir receita (receita total) e explicar o que é: a receita \;R(x)\; é o faturamento obtido ao vender \;x\; unidades a preço \;P(x)\;. Portanto
R(x)=P(x)\cdot x.
Substituindo a função demanda \;P(x)=40-2x\;, obtemos
R(x)=(40-2x)\,x=40x-2x^{2}.
Explicando a multiplicação: multiplicamos cada termo da parcela (40-2x) por \;x\;: 40\cdot x=40x e (-2x)\cdot x=-2x^{2}.

Passo 3

Agora definimos lucro (função objetivo a maximizar). O lucro \;\pi(x)\; é a receita menos o custo:
\pi(x)=R(x)-C(x).
Substituindo R(x)=40x-2x^{2} e C(x)=40+2x, temos
\pi(x)=40x-2x^{2}-(40+2x).
Vamos simplificar termo a termo: 40x-2x 38x; o termo constante fica -40; e o quadrático é -2x^{2}. Assim
\pi(x)=-2x^{2}+38x-40.

Passo 4

Para maximizar uma função diferenciável de \;x\;, como \;\pi(x)\;, o procedimento padrão é:
  • Calcular a derivada \;\pi'(x)\; e encontrar pontos críticos resolvendo \;\pi'(x)=0\;.
  • Verificar o sinal da segunda derivada \;\pi''(x)\; para confirmar se é máximo (se \;\pi''(x)<0\;, é máximo local).
Antes de aplicar, relembrando regras básicas de derivação:
  • A derivada de \;ax^{2}\; é \;2ax\;.
  • A derivada de \;bx\; é \;b\;.
  • A derivada de constante é \;0\;.
Agora calculamos a derivada de \;\pi(x)\;:
\pi'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}+38x-40\bigr)=-4x+38.

Passo 5

Encontramos o ponto crítico resolvendo \;\pi'(x)=0\;:
-4x+38=0.
Isolando \;x\;:
-4x=-38\quad\Rightarrow\quad x=\frac{38}{4}=\frac{19}{2}=9,5.
Portanto a quantidade que maximiza o lucro é \;x^{*}=9,5 unidades.

Passo 6

Confirmamos que é um máximo verificando a segunda derivada:
\pi''(x)=\frac{d}{dx}(-4x+38)=-4.
Como \;\pi''(x)=-4<0\;, a função lucro é côncava para baixo e o ponto crítico \;x^{*}=9,5\; é realmente um máximo global (para a forma quadrática).

Passo 7

Agora traduzimos essa quantidade ótima em preço usando a função demanda. Substituímos \;x^{*}\; em \;P(x)=40-2x:
P^{*}=40-2\cdot 9,5=40-19=21.
Interpretação: para obter o máximo lucro, deve-se cobrar o preço \;P^{*}=21 por unidade.

Resposta

\;P=21\;

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