Questão 2: Maximização de Lucro. Com relação ao exercício anterior (demanda
), que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se a função custo for
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta:
- Dados fornecidos:
- A função demanda (preço em função da quantidade) é
. - A função custo é
. - Aqui
representa a quantidade vendida (unidades) e é o preço por unidade correspondente a essa quantidade.
- A função demanda (preço em função da quantidade) é
- O que o exercício pede:
- Determinar qual preço deve ser cobrado para maximizar o lucro.
Passo 2
Vamos definir receita (receita total) e explicar o que é: a receita
é o faturamento obtido ao vender
unidades a preço
. Portanto
Substituindo a função demanda
, obtemos
Explicando a multiplicação: multiplicamos cada termo da parcela
por
:
e
.
Passo 3
Agora definimos lucro (função objetivo a maximizar). O lucro
é a receita menos o custo:
Substituindo
e
, temos
Vamos simplificar termo a termo:
dá
; o termo constante fica
; e o quadrático é
. Assim
Passo 4
Para maximizar uma função diferenciável de
, como
, o procedimento padrão é:
- Calcular a derivada
e encontrar pontos críticos resolvendo . - Verificar o sinal da segunda derivada
para confirmar se é máximo (se , é máximo local).
Antes de aplicar, relembrando regras básicas de derivação:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de constante é
.
Agora calculamos a derivada de
:
Passo 5
Encontramos o ponto crítico resolvendo
:
Isolando
:
Portanto a quantidade que maximiza o lucro é
unidades.
Passo 6
Confirmamos que é um máximo verificando a segunda derivada:
Como
, a função lucro é côncava para baixo e o ponto crítico
é realmente um máximo global (para a forma quadrática).
Passo 7
Agora traduzimos essa quantidade ótima em preço usando a função demanda. Substituímos
em
:
Interpretação: para obter o máximo lucro, deve-se cobrar o preço
por unidade.