Questão 1: Análise de Dados de Reabilitação (Fisioterapia)
Em um estudo sobre o tempo de recuperação (em dias) de pacientes submetidos a dois métodos de reabilitação (Método A e Método B) para uma lesão no tornozelo, os resultados foram:
Medida Estatística Método A Método B
Média
45 dias
40 dias
Mediana
40 dias
40 dias
Desvio Padrão
5 dias
20 dias
Assinale a alternativa que apresenta a interpretação correta dos dados fornecidos:
(A) O Método A é mais eficaz na média, pois o tempo de recuperação é maior.
(B) O Método B possui maior consistência nos resultados, devido ao seu menor desvio padrão.
(C) O Método A apresenta resultados mais homogêneos (menor dispersão) em torno da média.
(D) A mediana sugere que a maioria dos pacientes no Método A se recuperou mais rápido do que a média.
(E) O Método B é preferível por apresentar a mesma mediana que o Método A , mas menor média.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
Dados fornecidos (peguei os números do enunciado):
O enunciado pede escolher a interpretação correta entre as alternativas (A), (B), (C), (D) e (E).
Passo 2
Explicação didática dos conceitos que vamos usar (sem pular etapas).
Média (aritmética):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são os tempos de recuperação de cada paciente e n é o número de pacientes. A média é o valor “central” obtido somando todos os tempos e dividindo por n. A interpretação prática: valores maiores da média indicam, em média, maior tempo de recuperação (portanto pior desempenho se queremos recuperação rápida).
Mediana:
É o valor que separa a amostra em duas metades: metade dos observações estão abaixo ou iguais à mediana e metade estão acima ou iguais. Se n é ímpar, é o valor do meio; se n é par, é a média dos dois valores do meio.
Importante: mediana indica a posição central (50%-50%), não garante “maioria” no sentido estrito de mais que 50% (a menos que haja empates que alterem a contagem).
onde \mu é a média verdadeira (ou \bar{x} para amostra). O desvio padrão mede a dispersão dos dados em torno da média: quanto menor \sigma, mais “apertados” os valores estão ao redor da média; quanto maior \sigma, mais espalhados estão os tempos de recuperação.
Exemplo rápido para sentir a diferença média vs mediana e efeito de dispersão:
Conjunto S_1=\{38,40,40,42,45\}. Aqui a mediana é \,40 e a média é \,\dfrac{38+40+40+42+45}{5}=\dfrac{205}{5}=41. A mediana (40) é menor que a média (41); isso ocorre porque alguns valores maiores puxam a média para cima.
Conjunto S_2=\{20,40,40,40,60\}. A mediana é \,40, a média é \,\dfrac{20+40+40+40+60}{5}=40. Aqui média = mediana porque os grandes e pequenos se compensam.
Observação: desvio padrão de S_1 será menor que de S_2 se S_2 tiver valores mais extremos (mais dispersão).
Passo 3
Interpretação direta dos números do enunciado usando os conceitos:
Médias: \bar{x}_A=45\\ \text{dias} e \bar{x}_B=40\\ \text{dias}.
Como queremos recuperação rápida, uma média menor é melhor. Logo, pelo critério da média isolada, o Método B tem menor tempo médio de recuperação (melhor média).
Medianas: mediana de A e B é \,40\\ \text{dias} em ambos os métodos.
Isso significa que, em cada método, pelo menos 50\% dos pacientes recuperaram em \leq 40 dias. Não diz necessariamente “mais de 50\%” — apenas a metade central.
Desvios padrão: \sigma_A=5\\ \text{dias} e \sigma_B=20\\ \text{dias}.
\sigma_A é menor, então os tempos no Método A estão mais próximos da média (menos dispersos). \sigma_B maior significa resultados mais variáveis no Método B.
Passo 4
Avaliação item a item das alternativas (explicando por que cada uma é verdadeira ou falsa):
(A) “O Método A é mais eficaz na média, pois o tempo de recuperação é maior.”
Falsa. Primeiro, “mais eficaz” aqui deveria significar menor tempo de recuperação; mas o enunciado diz que a média do Método A é \,45 dias, maior que \,40 dias do B, ou seja, A tem pior média (recuperação mais lenta). Além disso a justificativa “pois o tempo de recuperação é maior” não faz sentido para eficácia; logo (A) está errada.
(B) “O Método B possui maior consistência nos resultados, devido ao seu menor desvio padrão.”
Falsa. Pelo enunciado \sigma_B=20 e \sigma_A=5. O desvio padrão de B é maior, não menor. Portanto B é menos consistente. (B) está errada.
(C) “O Método A apresenta resultados mais homogêneos (menor dispersão) em torno da média.”
Verdadeira. A afirmação refere-se à dispersão em torno da média, medida pelo desvio padrão, e os números mostram \sigma_A=5<\sigma_B=20. Isso significa que os tempos do Método A estão mais concentrados ao redor da média — ou seja, mais homogêneos. (C) está correta.
(D) “A mediana sugere que a maioria dos pacientes no Método A se recuperou mais rápido do que a média.”
Problemática/errada. A mediana \,40 é menor que a média \,45, o que indica que pelo menos metade (50\%) dos pacientes teve tempo \leq 40 dias, que é mais rápido que a média. Porém a frase usa “a maioria” (normalmente interpretada como mais de 50\%). A mediana por si só garante apenas que metade (ou exatamente metade, dependendo de empates) está abaixo, não que haja uma maioria estrita (>50%). Por isso a afirmação, do jeito que está escrita, é enganosa e não pode ser tomada como correta sem informação adicional. Logo (D) não é a melhor interpretação.
(E) “O Método B é preferível por apresentar a mesma mediana que o Método A, mas menor média.”
Falsa como conclusão absoluta. É verdade que B tem média menor (40 versus 45) e mediana igual (40), mas preferir B só com base nisso ignora a grande dispersão de B (\sigma_B=20), que significa resultados muito mais variáveis — alguns pacientes podem demorar muito mais. Não se pode afirmar que B é preferível sem considerar essa variabilidade e o critério de preferência. Portanto (E) está mal justificada.
Passo 5
Síntese final da argumentação: a única alternativa que está correta sem ambiguidades nem erros de interpretação é a alternativa que afirma que o Método A tem menor dispersão (mais homogênea) ao redor da média, porque \sigma_A=5 é realmente menor que \sigma_B=20.