QUESTÃO 8 - Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^{y} \sin x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função \,f:\mathbb{C}\to\mathbb{R} dada por
f(z)=e^{y}\sin x,\quad z=x+iy
é harmônica. Para isso precisamos usar o conceito de função harmônica, que é aquela cuja laplaciana se anula, isto é,
\Delta f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = 0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f(x,y)=e^{y}\sin x.
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{y}\cos x, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -\,e^{y}\sin x.
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{y}\sin x, \quad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = e^{y}\sin x.

Passo 3

Agora somamos as segundas derivadas para obter a laplaciana:
\Delta f = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = -\,e^{y}\sin x + e^{y}\sin x = 0.

Passo 4

Como \Delta f = 0 em todo o domínio, concluímos que f é uma função harmônica.

Resposta

A função f(z)=e^{y}\sin x é harmônica.

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