QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada
.
Passo 1
Temos a função
onde
O objetivo é usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se
é analítica e, em caso afirmativo, calcular
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, obtemos
Logo, as duas igualdades valem para todo
. Portanto
é analítica em todo o plano complexo.
Passo 4
Para a derivada usamos
Substituindo os valores já calculados,
Mas reconhecemos
portanto
Resposta
A função é analítica em todo
e