QUESTÃO 7 - A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^{\prime}(z).
w=\left(e^{y}+e^{-y}\right) \sin x+\left(e^{y}-e^{-y}\right) \cos x

Passo 1

Temos a função
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
onde
u(x,y)=(e^{y}+e^{-y})\sin x, \quad v(x,y)=(e^{y}-e^{-y})\cos x.
O objetivo é usar as equações de Cauchy–Riemann para verificar se f é analítica e, em caso afirmativo, calcular f'(z).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[(e^{y}+e^{-y})\sin x\bigr]=(e^{y}+e^{-y})\cos x,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(e^{y}+e^{-y})\sin x\bigr]=(e^{y}-e^{-y})\sin x,
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\bigl[(e^{y}-e^{-y})\cos x\bigr]=-(e^{y}-e^{-y})\sin x,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}\bigl[(e^{y}-e^{-y})\cos x\bigr]=(e^{y}+e^{-y})\cos x.

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
u_x=v_y \quad\text{e}\quad u_y=-v_x.
Substituindo, obtemos
u_x=(e^{y}+e^{-y})\cos x=v_y, \quad u_y=(e^{y}-e^{-y})\sin x=-\bigl[-(e^{y}-e^{-y})\sin x\bigr]=-v_x.
Logo, as duas igualdades valem para todo (x,y). Portanto f é analítica em todo o plano complexo.

Passo 4

Para a derivada usamos
f'(z)=u_x+i\,v_x.
Substituindo os valores já calculados,
f'(z) =(e^{y}+e^{-y})\cos x +i\bigl[-(e^{y}-e^{-y})\sin x\bigr] =2\bigl(\cos x\operatorname{cosh} y -i\sin x\operatorname{sinh} y\bigr).
Mas reconhecemos
\cos z=\cos x\operatorname{cosh} y - i\sin x\operatorname{sinh} y,
portanto
f'(z)=2\cos z.

Resposta

A função é analítica em todo \mathbb{C} e
f'(z)=2\cos z.

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