Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência

Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano " s ".
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s^{2}+2 s+3}{(s+1)\left(s^{2}+6 s+7\right)}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s^{2}+2 s+3}{(s+1)\left(s^{2}+6 s+7\right)}.
As perguntas são claras:
  • Encontrar os zeros: as raízes do numerador N(s)=0.
  • Encontrar os polos: as raízes do denominador D(s)=0.
  • Desenhar (ou descrever como desenhar) esses polos e zeros no plano s.
Informações úteis dadas no enunciado:
  • Numerador: N(s)=s^{2}+2s+3.
  • Denominador fatorado parcialmente: D(s)=(s+1)(s^{2}+6s+7). Ou seja, já aparece um fator linear (s+1) e um quadrático s^{2}+6s+7.

Passo 2

O que significa zero e polo e como achar:
  • Zero: valor de s que anula o numerador, ou seja, solução de N(s)=0.
  • Polo: valor de s que anula o denominador, ou seja, solução de D(s)=0.
    Para achar raízes de polinômios quadráticos do tipo a s^{2}+b s+c=0 usa-se a fórmula quadrática:
s=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a, b e c são os coeficientes do polinômio. O termo dentro da raiz, \Delta=b^{2}-4ac, chama-se discriminante e indica se as raízes são reais distintas ( \Delta>0), reais iguais ( \Delta=0) ou complexas conjugadas ( \Delta<0). Se aparecer raiz negativa dentro da raiz, ela gera uma parte imaginária j ( j^2=-1).

Passo 3

Calcular os zeros: resolver s^{2}+2s+3=0 com a fórmula quadrática.
  • Coeficientes: a=1, b=2, c=3.
  • Discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\cdot1\cdot3=4-12=-8.
Como \Delta<0, as raízes serão complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
s=\frac{-2\pm\sqrt{-8}}{2}=\frac{-2\pm j\sqrt{8}}{2}.
Simplificando \sqrt{8}=2\sqrt{2}, tem-se
s=-1\pm j\sqrt{2}.
Para termos uma ideia numérica, \sqrt{2}\approx1,414, então os zeros aproximados são
s\approx -1\pm j\,1,414.

Passo 4

Calcular os polos: resolver D(s)=0. O denominador já está fatorado em (s+1)(s^{2}+6s+7).
  • Do fator (s+1)=0 vem o polo simples
s=-1.
  • Para o quadrático s^{2}+6s+7=0, aplicamos a fórmula:
    • Coeficientes: a=1, b=6, c=7.
    • Discriminante:
    \Delta=b^{2}-4ac=6^{2}-4\cdot1\cdot7=36-28=8.Como \Delta>0, as raízes são reais distintas. Aplicando a fórmula: s=\frac{-6\pm\sqrt{8}}{2}=\frac{-6\pm2\sqrt{2}}{2}=-3\pm\sqrt{2}.Usando \sqrt{2}\approx1,414, os polos reais aproximados são s\approx -3+1,414=-1,586\qquad\text{e}\qquad s\approx -3-1,414=-4,414.
Portanto os polos são s=-1, s=-3+\sqrt{2} e s=-3-\sqrt{2}.

Passo 5

Como desenhar (plotar) no plano s:
  • O plano s tem eixo horizontal a parte real \operatorname{Re}(s) e eixo vertical a parte imaginária \operatorname{Im}(s).
  • Marcações recomendadas: no eixo real marque, por exemplo, -5,-4,-3,-2,-1,0. No eixo imaginário marque -2,-1,0,1,2.
  • Colocar os zeros como círculos \circ em s=-1\pm j\sqrt{2}, ou seja nos pontos com coordenadas \big(\,-1,\,+1,414\,\big) e \big(\,-1,\,-1,414\,\big).
  • Colocar os polos como cruzes \times em s=-1, s\approx-1,586 e s\approx-4,414 todos com componente imaginária 0 (ou seja, sobre o eixo real).
  • Observações úteis: os zeros complexos são um par conjugado simétrico em relação ao eixo real. Não há cancelamento exato de polo e zero (por exemplo, há um polo em s=-1 mas o zero com parte real -1 tem parte imaginária não nula, logo não coincide com o polo).

Passo 6

Resumo interpretativo rápido (útil para a prova):
  • Zeros complexos conjugados significam resposta em frequência com característica de fase e amplitude ligada à posição desses zeros.
  • Polos reais negativos indicam modos decaindo no tempo (estáveis).
  • Saber calcular discriminante e aplicar a fórmula quadrática é a técnica central para problemas desse tipo — pratique com polinômios simples antes da prova para ganhar velocidade.

Resposta

Zeros: s=-1\pm j\sqrt{2} (aprox. s\approx -1\pm j1,414)
Polos: s=-1,\;s=-3\pm\sqrt{2} (aprox. s\approx -1,\, -1,586,\, -4,414)

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