Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência
Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano "
".
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência
As perguntas são claras:
- Encontrar os zeros: as raízes do numerador
. - Encontrar os polos: as raízes do denominador
. - Desenhar (ou descrever como desenhar) esses polos e zeros no plano
.
Informações úteis dadas no enunciado:
- Numerador:
. - Denominador fatorado parcialmente:
. Ou seja, já aparece um fator linear e um quadrático .
Passo 2
O que significa zero e polo e como achar:
- Zero: valor de
que anula o numerador, ou seja, solução de . - Polo: valor de
que anula o denominador, ou seja, solução de .
Para achar raízes de polinômios quadráticos do tipousa-se a fórmula quadrática:
Aqui
,
e
são os coeficientes do polinômio. O termo dentro da raiz,
, chama-se discriminante e indica se as raízes são reais distintas (
), reais iguais (
) ou complexas conjugadas (
). Se aparecer raiz negativa dentro da raiz, ela gera uma parte imaginária
(
).
Passo 3
Calcular os zeros: resolver
com a fórmula quadrática.
- Coeficientes:
, , . - Discriminante:
Como
, as raízes serão complexas conjugadas. Aplicando a fórmula:
Simplificando
, tem-se
Para termos uma ideia numérica,
, então os zeros aproximados são
Passo 4
Calcular os polos: resolver
. O denominador já está fatorado em
.
- Do fator
vem o polo simples
- Para o quadrático
, aplicamos a fórmula: - Coeficientes:
, , . - Discriminante:
Como , as raízes são reais distintas. Aplicando a fórmula: Usando , os polos reais aproximados são - Coeficientes:
Portanto os polos são
,
e
.
Passo 5
Como desenhar (plotar) no plano
:
- O plano
tem eixo horizontal a parte real e eixo vertical a parte imaginária . - Marcações recomendadas: no eixo real marque, por exemplo,
. No eixo imaginário marque . - Colocar os zeros como círculos
em , ou seja nos pontos com coordenadas e . - Colocar os polos como cruzes
em , e todos com componente imaginária (ou seja, sobre o eixo real). - Observações úteis: os zeros complexos são um par conjugado simétrico em relação ao eixo real. Não há cancelamento exato de polo e zero (por exemplo, há um polo em
mas o zero com parte real tem parte imaginária não nula, logo não coincide com o polo).
Passo 6
Resumo interpretativo rápido (útil para a prova):
- Zeros complexos conjugados significam resposta em frequência com característica de fase e amplitude ligada à posição desses zeros.
- Polos reais negativos indicam modos decaindo no tempo (estáveis).
- Saber calcular discriminante e aplicar a fórmula quadrática é a técnica central para problemas desse tipo — pratique com polinômios simples antes da prova para ganhar velocidade.
Resposta
Zeros:
(aprox.
)
Polos: (aprox.
)
Polos: