Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência

Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano " s ".
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s-2}{s^{2}+3 s+2}

Passo 1

O enunciado fornece a função de transferência e pede duas coisas: (a) encontrar os polos e os zeros; (b) desenhar esses polos e zeros no plano s. A função dada é
\frac{N(s)}{D(s)}=\frac{s-2}{s^{2}+3s+2}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Numerador: N(s)=s-2.
  • Denominador: D(s)=s^{2}+3s+2.
  • O objetivo é achar as raízes de N(s) (zeros) e as raízes de D(s) (polos) e indicar suas posições no plano complexo s.

Passo 2

O que são zeros e polos (explicação didática):
  • Zero: valor de s que faz o numerador zero, isto é, solução de N(s)=0. Quando s está em um zero, a função de transferência se anula (valor zero).
  • Polo: valor de s que faz o denominador zero, isto é, solução de D(s)=0. Numa vizinhança de um polo a função de transferência tende a infinito (singularidade).
  • Se uma raiz aparece k vezes (multiplicidade k) diz-se que existe um zero ou polo de ordem k.
    Esses conceitos são importantes porque determinam comportamento em frequência/tempo e estabilidade do sistema.

Passo 3

Método prático para encontrar poles e zeros (passo a passo):
  1. Resolver N(s)=0 para achar os zeros.
  2. Resolver D(s)=0 para achar os polos.
  3. Se possível, fatorar N(s) e D(s) para identificar multiplicidades.
  4. Representar os pontos obtidos no plano s (eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), marcando zeros com um círculo (\text{o}) e polos com um xis (\times).

Passo 4

Encontrando o(s) zero(s): resolver N(s)=0.
N(s)=s-2=0 \quad\Rightarrow\quad s=2.
Portanto há um único zero em s=2. Como a raiz aparece apenas uma vez, a multiplicidade é 1.

Passo 5

Encontrando os polos: resolver D(s)=0.
D(s)=s^{2}+3s+2.
Fatorando o polinômio (procura-se dois números que multiplicam para 2 e somam 3): esses números são 1 e 2. Logo
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Assim as raízes são dadas por
s+1=0\Rightarrow s=-1,\qquad s+2=0\Rightarrow s=-2.
Cada raiz aparece uma vez, então ambos os polos têm multiplicidade 1.

Passo 6

Resumo dos resultados algébricos:
  • Zero: s=2 (multiplicidade 1).
  • Polos: s=-1 e s=-2 (cada um com multiplicidade 1).

Passo 7

Como desenhar no plano s (orientação prática para desenhar na prova):
  • Desenhar dois eixos perpendiculares: eixo real horizontal (marcar valores -2,-1,0,1,2) e eixo imaginário vertical.
  • Marcar o zero em s=2 no eixo real à direita da origem; usar um círculo \text{o} em (2,0).
  • Marcar os polos em s=-1 e s=-2 no eixo real à esquerda da origem; usar um xis \times em (-1,0) e outro \times em (-2,0).
  • Se quiser anotar multiplicidades, escrever ao lado de cada marcação (por ex. \times com expoente 1, embora aqui não seja necessário porque todas são simples).

Passo 8

Interpretação rápida (motivação e dica para prova):
  • Todos os polos estão no semieixo real negativo ( s=-1 e s=-2), o que, em sistemas causais lineares, indica resposta estável (modos exponenciais decrescentes). Essa observação pode ser útil em questões adicionais sobre estabilidade/tempo de decaimento.
  • O zero em s=2 está no semieixo real positivo; na análise de resposta em frequência isso pode provocar cancelamentos de ganho em certas frequências e alterar a forma da resposta.

Passo 9

Verificação final: grau do numerador é 1 (um zero) e grau do denominador é 2 (dois polos), concilia com os resultados obtidos.

Resposta

Zero: s=2
Polos: s=-1,\\ s=-2

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