Questão 3) Obtenção de polos e zeros de uma função de transferência
Considerando as seguintes funções de transferência, encontrar quais são os polos e os zeros e desenhar estes polos e zeros no plano "
".
Passo 1
O enunciado fornece a função de transferência e pede duas coisas: (a) encontrar os polos e os zeros; (b) desenhar esses polos e zeros no plano
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Numerador:
. - Denominador:
. - O objetivo é achar as raízes de
(zeros) e as raízes de (polos) e indicar suas posições no plano complexo .
Passo 2
O que são zeros e polos (explicação didática):
- Zero: valor de
que faz o numerador zero, isto é, solução de . Quando está em um zero, a função de transferência se anula (valor zero). - Polo: valor de
que faz o denominador zero, isto é, solução de . Numa vizinhança de um polo a função de transferência tende a infinito (singularidade). - Se uma raiz aparece
vezes (multiplicidade ) diz-se que existe um zero ou polo de ordem .
Esses conceitos são importantes porque determinam comportamento em frequência/tempo e estabilidade do sistema.
Passo 3
Método prático para encontrar poles e zeros (passo a passo):
- Resolver
para achar os zeros. - Resolver
para achar os polos. - Se possível, fatorar
e para identificar multiplicidades. - Representar os pontos obtidos no plano
(eixo real horizontal, eixo imaginário vertical), marcando zeros com um círculo e polos com um xis .
Passo 4
Encontrando o(s) zero(s): resolver
.
Portanto há um único zero em
. Como a raiz aparece apenas uma vez, a multiplicidade é 1.
Passo 5
Encontrando os polos: resolver
.
Fatorando o polinômio (procura-se dois números que multiplicam para
e somam
): esses números são
e
. Logo
Assim as raízes são dadas por
Cada raiz aparece uma vez, então ambos os polos têm multiplicidade 1.
Passo 6
Resumo dos resultados algébricos:
- Zero:
(multiplicidade ). - Polos:
e (cada um com multiplicidade ).
Passo 7
Como desenhar no plano
(orientação prática para desenhar na prova):
- Desenhar dois eixos perpendiculares: eixo real horizontal (marcar valores
) e eixo imaginário vertical. - Marcar o zero em
no eixo real à direita da origem; usar um círculo em . - Marcar os polos em
e no eixo real à esquerda da origem; usar um xis em e outro em . - Se quiser anotar multiplicidades, escrever ao lado de cada marcação (por ex.
com expoente , embora aqui não seja necessário porque todas são simples).
Passo 8
Interpretação rápida (motivação e dica para prova):
- Todos os polos estão no semieixo real negativo (
e ), o que, em sistemas causais lineares, indica resposta estável (modos exponenciais decrescentes). Essa observação pode ser útil em questões adicionais sobre estabilidade/tempo de decaimento. - O zero em
está no semieixo real positivo; na análise de resposta em frequência isso pode provocar cancelamentos de ganho em certas frequências e alterar a forma da resposta.
Passo 9
Verificação final: grau do numerador é
(um zero) e grau do denominador é
(dois polos), concilia com os resultados obtidos.
Resposta
Zero:
Polos:
Polos: