Questão [analit1] ( 1,0 \mathrm{pt} ) Considere as seguintes funções \operatorname{com} z \in \mathbb{Z}. Quais delas são analíticas?
A) f(z)=z^{4}
B) f(z)=e^{2 x}(\cos y+i \sin y)
C) f(z)=\operatorname{Re} z+\operatorname{Im} z
Apenas (A) \square
A e B \square Todas são analíticas.
\square Nenhuma delas é analítica.
\square B e C

Passo 1

O enunciado pergunta: quais das funções abaixo são analíticas (holomorfas) considerando z um número complexo?
\text{A) } f(z)=z^{4}
\text{B) } f(z)=e^{2x}(\cos y + i\sin y)
\text{C) } f(z)=\operatorname{Re}z + \operatorname{Im}z
Informações relevantes dadas pelo enunciado: cada função está escrita em termos das coordenadas reais x e y quando necessário, com z=x+iy. A pergunta é decidir, para cada função, se ela é analítica (isto é, se é complexamente diferenciável em um aberto, e tipicamente em todo \mathbb{C}).

Passo 2

O que significa “analítica” na prática (mini-aula): uma função f:\mathbb{C}\to\mathbb{C} é analítica (holomorfa) num ponto se ela tem derivada complexa naquele ponto em sentido complexo. Um critério prático e usado na prova é o sistema de equações de Cauchy–Riemann mais a continuidade das derivadas parciais. Se escrevemos
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y),
onde u e v são funções reais de (x,y), então as equações de Cauchy–Riemann são
u_x = v_y
u_y = -v_x.
Aqui u_x significa a derivada parcial de u em relação a x, etc. Se u_x,u_y,v_x,v_y existem, são contínuas numa vizinhança e satisfazem as equações acima, então f é holomorfa nessa vizinhança. Outra observação útil: polinômios em z (sem aparecer \overline{z}) são inteiros (entire), ou seja, analíticos em todo \mathbb{C}. Vou usar esses dois fatos: (1) se aparece \overline{z} geralmente não é holomorfa, (2) polinômios em z são holomorfos.

Passo 3

Analisando a opção A: f(z)=z^{4}.
Explicação didática: z^4 é um polinômio em z (não aparece \overline{z}). Todos os polinômios complexos são inteiros (analíticos em todo \mathbb{C}). Podemos também ver a derivada usando a regra do poder:
f'(z)=4z^{3},
que existe para todo z. Conclusão: f é analítica em todo \mathbb{C}.

Passo 4

Analisando a opção B: f(z)=e^{2x}(\cos y + i\sin y).
Primeiro escrevo f na forma u+iv:
u(x,y)=e^{2x}\cos y,\qquad v(x,y)=e^{2x}\sin y.
Agora calculo as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo):
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x}\cos y\big)=2e^{2x}\cos y,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x}\cos y\big) = -e^{2x}\sin y,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{2x}\sin y\big)=2e^{2x}\sin y,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{2x}\sin y\big)= e^{2x}\cos y.
Agora aplico as equações de Cauchy–Riemann:
u_x \stackrel{?}{=} v_y \quad\Rightarrow\quad 2e^{2x}\cos y \stackrel{?}{=} e^{2x}\cos y.
Isso só seria verdade quando e^{2x}\cos y=0, o que não ocorre para todos os pontos (por exemplo em x=0,y=0 não é verdade). Logo a igualdade geral falha; portanto as equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em geral. Conclusão: f não é analítica (não é holomorfa em nenhum aberto não-trivial). Observação alternativa (útil na prova): podemos escrever f=e^{2x+iy}=e^{(3/2)z+(1/2)\overline{z}} (usando x=(z+\overline{z})/2, y=(z-\overline{z})/(2i)), e por causa da dependência explícita em \overline{z} a função não é holomorfa (função holomorfa não pode depender de \overline{z}).

Passo 5

Analisando a opção C: f(z)=\operatorname{Re}z + \operatorname{Im}z.
Escrevo z=x+iy. Então
f(z)=x+y.
Isto é função real pura: u(x,y)=x+y e v(x,y)=0. Calculo as derivadas parciais:
u_x=1,\qquad u_y=1,\qquad v_x=0,\qquad v_y=0.
As equações de Cauchy–Riemann exigem u_x=v_y e u_y=-v_x. Substituindo:
1 \stackrel{?}{=} 0 \quad\text{e}\quad 1 \stackrel{?}{=} 0,
o que é falso. Portanto f não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e não é analítica em nenhum ponto de um aberto. (Às vezes uma função real constante é holomorfa? Sim, mas aqui f não é constante; se fosse constante complexa as CR seriam satisfeitas trivialmente.)

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • A) é analítica (polinômio em z, inteira).
  • B) não é analítica (CR falham; depende de \overline{z}).
  • C) não é analítica (CR falham).

Resposta

Apenas (A)

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