Questão [analit1] (
) Considere as seguintes funções
. Quais delas são analíticas?
A)
B)
C)
Apenas (A)
A e B
Todas são analíticas.
Nenhuma delas é analítica.
B e C
A)
B)
C)
Apenas (A)
A e B
Passo 1
O enunciado pergunta: quais das funções abaixo são analíticas (holomorfas) considerando
um número complexo?
Informações relevantes dadas pelo enunciado: cada função está escrita em termos das coordenadas reais
e
quando necessário, com
. A pergunta é decidir, para cada função, se ela é analítica (isto é, se é complexamente diferenciável em um aberto, e tipicamente em todo
).
Passo 2
O que significa “analítica” na prática (mini-aula): uma função
é analítica (holomorfa) num ponto se ela tem derivada complexa naquele ponto em sentido complexo. Um critério prático e usado na prova é o sistema de equações de Cauchy–Riemann mais a continuidade das derivadas parciais. Se escrevemos
onde
e
são funções reais de
, então as equações de Cauchy–Riemann são
Aqui
significa a derivada parcial de
em relação a
, etc. Se
existem, são contínuas numa vizinhança e satisfazem as equações acima, então
é holomorfa nessa vizinhança. Outra observação útil: polinômios em
(sem aparecer
) são inteiros (entire), ou seja, analíticos em todo
. Vou usar esses dois fatos: (1) se aparece
geralmente não é holomorfa, (2) polinômios em
são holomorfos.
Passo 3
Analisando a opção A:
.
Explicação didática: é um polinômio em
(não aparece
). Todos os polinômios complexos são inteiros (analíticos em todo
). Podemos também ver a derivada usando a regra do poder:
Explicação didática:
que existe para todo
. Conclusão:
é analítica em todo
.
Passo 4
Analisando a opção B:
.
Primeiro escrevo na forma
:
Primeiro escrevo
Agora calculo as derivadas parciais (vou mostrar passo a passo):
Agora aplico as equações de Cauchy–Riemann:
Isso só seria verdade quando
, o que não ocorre para todos os pontos (por exemplo em
não é verdade). Logo a igualdade geral falha; portanto as equações de Cauchy–Riemann não são satisfeitas em geral. Conclusão:
não é analítica (não é holomorfa em nenhum aberto não-trivial). Observação alternativa (útil na prova): podemos escrever
(usando
,
), e por causa da dependência explícita em
a função não é holomorfa (função holomorfa não pode depender de
).
Passo 5
Analisando a opção C:
.
Escrevo . Então
Escrevo
Isto é função real pura:
e
. Calculo as derivadas parciais:
As equações de Cauchy–Riemann exigem
e
. Substituindo:
o que é falso. Portanto
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann e não é analítica em nenhum ponto de um aberto. (Às vezes uma função real constante é holomorfa? Sim, mas aqui
não é constante; se fosse constante complexa as CR seriam satisfeitas trivialmente.)
Passo 6
Resumo das conclusões:
- A) é analítica (polinômio em
, inteira). - B) não é analítica (CR falham; depende de
). - C) não é analítica (CR falham).
Resposta
Apenas (A)