Questão [int2] (
) Integre
ao longo de um um círculo unitário no sentido anti-horário. É possível usar o teorema integral de Cauchy?
0, sim.
, não.
, não.
.
, não.
Passo 1
O enunciado pede para integrar a função
ao longo do círculo unitário percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes são:
- A função dada é
. - A curva de integração é o círculo
percorrido no sentido anti-horário. - A pergunta tem duas partes implícitas: (i) qual é o valor da integral de contorno
; (ii) se é possível usar o Teorema Integral de Cauchy para justificar esse valor.
Nada mais é dado — não há singularidades indicadas dentro ou sobre a curva. A resolução começa a partir dessas informações.
Passo 2
Vamos ver propriedades da função que são importantes para decidir se podemos usar o Teorema Integral de Cauchy. Primeiro, por que
é bem comportada (analítica) em todo o plano complexo?
- A função exponencial
tem série de potências com raio de convergência infinito, logo é inteira (analítica em todo ). - A função
é um polinômio em , portanto inteira também. - A composição de funções inteiras é inteira, então
é inteira (analítica em todo o plano).
Uma forma concreta de ver isso é a expansão em série de potências:
série que converge para todo
.
Passo 3
Agora explico o Teorema Integral de Cauchy (versão que precisamos) de forma simples e intuitiva: se uma função é analítica em uma região que contém uma curva fechada e seu interior, então a integral dessa função ao longo dessa curva fechada é zero. Em termos práticos:
- O disco interior ao círculo unitário e o próprio círculo estão contidos em
, que é simplesmente conexo. - Como
é analítica em todo (ver Passo 2), ela é analítica no interior e na borda do círculo unitário.
Portanto as hipóteses do Teorema Integral de Cauchy estão satisfeitas, o que nos permite concluir (pela teoria) que a integral do contorno é zero.
Passo 4
Para fixar a intuição e mostrar outro caminho (que também é muito usado em prova), vou usar a série de potências e integrar termo a termo ao longo do círculo. Escrevemos a série (veja Passo 2):
Como a série converge uniformemente em
Agora uso o fato padrão sobre integrais de potências: para inteiro
,
Aqui todos os expoentes são
. Para ver porquê
quando
, parametrize
(
de
a
):
já que
para inteiro
. Assim cada termo é zero, e a soma é zero.]
Passo 5
Resumo e interpretação didática: temos duas maneiras naturais e rigorosas de concluir que a integral é zero:
- Pelo Teorema Integral de Cauchy: a função é analítica no interior do círculo unitário, logo a integral sobre esse contorno fechado é zero. Isso responde à parte sobre “é possível usar o teorema integral de Cauchy?” — sim, é perfeitamente aplicável.
- Pela expansão em série e integração termo a termo: não aparece nenhum termo
na série de potências, logo a integral de cada termo é zero; soma zero. Essa demonstração é útil quando, em prova, você precisa justificar explicitamente a ausência do termo .
Resposta
0, sim.