Questão [int2] ( 1,0 p t ) Integre f(z)=e^{\frac{z^{2}}{2}} ao longo de um um círculo unitário no sentido anti-horário. É possível usar o teorema integral de Cauchy?
\square 0, sim. \square \pi i, não. \square -\pi i, não. \square 2 \pi i, \mathrm{sim}. \square 2 \pi i, não.

Passo 1

O enunciado pede para integrar a função f(z)=e^{\frac{z^{2}}{2}} ao longo do círculo unitário percorrido no sentido anti-horário. As informações relevantes são:
  • A função dada é f(z)=e^{\frac{z^{2}}{2}}.
  • A curva de integração é o círculo \{z\in\mathbb{C}:|z|=1\} percorrido no sentido anti-horário.
  • A pergunta tem duas partes implícitas: (i) qual é o valor da integral de contorno \displaystyle \oint_{|z|=1} e^{\frac{z^{2}}{2}}\,dz; (ii) se é possível usar o Teorema Integral de Cauchy para justificar esse valor.
    Nada mais é dado — não há singularidades indicadas dentro ou sobre a curva. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Vamos ver propriedades da função que são importantes para decidir se podemos usar o Teorema Integral de Cauchy. Primeiro, por que e^{\frac{z^{2}}{2}} é bem comportada (analítica) em todo o plano complexo?
  • A função exponencial e^{w} tem série de potências com raio de convergência infinito, logo é inteira (analítica em todo \mathbb{C}).
  • A função w=\frac{z^{2}}{2} é um polinômio em z, portanto inteira também.
  • A composição de funções inteiras é inteira, então z\mapsto e^{\frac{z^{2}}{2}} é inteira (analítica em todo o plano).
    Uma forma concreta de ver isso é a expansão em série de potências:
e^{\frac{z^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\frac{z^{2}}{2}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{2^{n}n!},
série que converge para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 3

Agora explico o Teorema Integral de Cauchy (versão que precisamos) de forma simples e intuitiva: se uma função é analítica em uma região que contém uma curva fechada e seu interior, então a integral dessa função ao longo dessa curva fechada é zero. Em termos práticos:
  • O disco interior ao círculo unitário e o próprio círculo estão contidos em \mathbb{C}, que é simplesmente conexo.
  • Como e^{\frac{z^{2}}{2}} é analítica em todo \mathbb{C} (ver Passo 2), ela é analítica no interior e na borda do círculo unitário.
    Portanto as hipóteses do Teorema Integral de Cauchy estão satisfeitas, o que nos permite concluir (pela teoria) que a integral do contorno é zero.

Passo 4

Para fixar a intuição e mostrar outro caminho (que também é muito usado em prova), vou usar a série de potências e integrar termo a termo ao longo do círculo. Escrevemos a série (veja Passo 2):
e^{\frac{z^{2}}{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{2n}}{2^{n}n!}.
Como a série converge uniformemente em \{z:|z|\le 1\}\), podemos integrar termo a termo sobre \(|z|=1\): \[\oint_{|z|=1} e^{\frac{z^{2}}{2}}\,dz =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{n}n!}\oint_{|z|=1} z^{2n}\,dz.
Agora uso o fato padrão sobre integrais de potências: para inteiro k,
\oint_{|z|=1} z^{k}\,dz= \begin{cases} 2\pi i, & k=-1,\\[4pt] 0, & k\ne -1. \end{cases}
Aqui todos os expoentes são k=2n\ge 0\], logo \(k\ne -1. Para ver porquê \oint_{|z|=1} z^{k}\,dz=0 quando k\ne-1, parametrize z=e^{it} ( t de 0 a 2\pi):
\oint_{|z|=1} z^{k}\,dz = \int_{0}^{2\pi} e^{ikt}\, i e^{it}\,dt = i\int_{0}^{2\pi} e^{i(k+1)t}\,dt = i\left[\frac{e^{i(k+1)t}}{i(k+1)}\right]_{0}^{2\pi} =\frac{e^{i(k+1)2\pi}-1}{k+1}=0,
já que e^{i(k+1)2\pi}=1 para inteiro k+1. Assim cada termo é zero, e a soma é zero.]

Passo 5

Resumo e interpretação didática: temos duas maneiras naturais e rigorosas de concluir que a integral é zero:
  • Pelo Teorema Integral de Cauchy: a função é analítica no interior do círculo unitário, logo a integral sobre esse contorno fechado é zero. Isso responde à parte sobre “é possível usar o teorema integral de Cauchy?” — sim, é perfeitamente aplicável.
  • Pela expansão em série e integração termo a termo: não aparece nenhum termo z^{-1} na série de potências, logo a integral de cada termo é zero; soma zero. Essa demonstração é útil quando, em prova, você precisa justificar explicitamente a ausência do termo z^{-1}.

Resposta

0, sim.

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