Questâo 5) Uma antena tipo loop quadrado formada por uma única espira com 1 m de cada lado opera a 30 MHz . O fio e o aluminio corn um diametro de 2 cm . Calcule (a) A resistèndia de radiação ( 1.5 ponto)
(b) A impedancia de entrada. Considere \mathrm{L}=3,684 \cdot 10^{6} \mathrm{H}. ( 1,5 ponto)
(c) A eficiència de radiaçăo. (2 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve uma antena loop quadrado de um único fio com lado de 1,m, operando em f=30,MHz, diâmetro do fio de 2,cm, feito de alumínio. Precisamos calcular:
  1. A resistência de radiação R_{\mathrm{rad}}, usando a teoria de pequenos loops (onde A\ll\lambda^2).
  2. A impedância de entrada Z_{\mathrm{in}}=R_{\mathrm{rad}}+R_{\mathrm{loss}}+j\,\omega L, exigindo o cálculo da resistência de perda R_{\mathrm{loss}} por efeito de pele e o reatância X=j\,\omega L com L=3{,}684\times10^{-6} H.
  3. A eficiência de radiação \eta = \dfrac{R_{\mathrm{rad}}}{R_{\mathrm{rad}}+R_{\mathrm{loss}}}. Conteúdos usados: comprimento de onda, fórmula de resistência de radiação para pequeno loop, cálculo de impedância ôhmica por efeito de pele e eficiência de antena.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda e a área do loop:
\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\times10^8}{30\times10^6} = 10\text{ m},
A = (\text{lado})^2 = (1\text{ m})^2 = 1\text{ m}^2.

Passo 3

Para um pequeno loop de área A e frequência tal que A\ll\lambda^2, usa‐se a fórmula
R_{\mathrm{rad}} \approx 20\,\pi^2 \,\Bigl(\frac{A}{\lambda^2}\Bigr)^{2}.
Substituindo A=1,m ^2 e \lambda=10,m:
R_{\mathrm{rad}} =20\,\pi^2\,(1/10^2)^{2} =20\,\pi^2\times10^{-4} \approx 0{,}0197\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a profundidade de penetração (efeito de pele) no alumínio:
\delta = \sqrt{\frac{2\,\rho}{\omega\,\mu_0}} \quad\text{com}\quad \rho_{\mathrm{Al}}=2{,}65\times10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}, \quad \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\text{H/m}, \quad \omega=2\pi f.
Numericamente,
\delta \approx\sqrt{\frac{2\times2{,}65\times10^{-8}}{2\pi\times30\times10^6\times4\pi\times10^{-7}}} \approx1{,}5\times10^{-5}\text{ m}.

Passo 5

Calcular a resistência de perda R_{\mathrm{loss}}. O comprimento total do loop é 4\times1=4,m e o fio tem raio a=1,cm. A área efetiva de condução é a circunferência vezes \delta:
A_{\mathrm{ef}} = 2\pi a\,\delta = 2\pi(0{,}01)\times1{,}5\times10^{-5} \approx9{,}42\times10^{-7}\,\text{m}^2.
Logo,
R_{\mathrm{loss}} =\rho\frac{\ell}{A_{\mathrm{ef}}} =2{,}65\times10^{-8}\frac{4}{9{,}42\times10^{-7}} \approx0{,}113\\ \Omega.

Passo 6

Montar a impedância de entrada:
R_{\mathrm{tot}}=R_{\mathrm{rad}}+R_{\mathrm{loss}} =0{,}0197+0{,}113=0{,}1327\\ \Omega,
X = \omega L = 2\pi\times30\times10^6\times3{,}684\times10^{-6} \approx694{,}6\\ \Omega.
Portanto
Z_{\mathrm{in}} = R_{\mathrm{tot}} + jX \approx 0{,}133 + j\,694{,}6\\ \Omega.

Passo 7

Calcular a eficiência de radiação:
\eta =\frac{R_{\mathrm{rad}}}{R_{\mathrm{rad}}+R_{\mathrm{loss}}} =\frac{0{,}0197}{0{,}1327} \approx0{,}148 \quad\text{ou}\quad14{,}8\%.

Resposta

(a) R_{\mathrm{rad}}\approx0{,}0197\\ \Omega
(b) Z_{\mathrm{in}}\approx0{,}133 + j\,694{,}6\\ \Omega
(c) \eta\approx14{,}8\%

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