Questâo 6) Considerar um conjunto de dois elementos espaçados de um comprimento de onda com correntes que sâo iguais em amplitude e possuem defasamento de 180^{\circ}
a) Calcular o fator conjunto em função de \theta se os elementos estăo no eixo z ( 1 ponto)
b) Para qual àngulo \theta_{0} o fator conjunto é máximo? (1 ponto)
c) Qual a expressåo normalizada do fator conjunto? (1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do fator de array (array factor) de um arranjo de dois elementos isotrópicos no eixo z, separados de um comprimento de onda, com correntes de mesma amplitude e defasagem de 180^\circ. Para resolver precisamos usar a fórmula geral do fator de array e propriedades da função exponencial complexa.

Passo 2

O fator de array geral para dois elementos idênticos alimentados com amplitude uniforme e defasagem \varphi separados de distância d no eixo z é
AF(\theta)=1+e^{j\bigl(kd\cos\theta+\varphi\bigr)}.
Aqui k=\tfrac{2\pi}{\lambda}, d=\lambda e \varphi=\pi. Logo:

Passo 3

Substituindo kd=2\pi e \varphi=\pi obtemos
AF(\theta)=1+e^{j(2\pi\cos\theta+\pi)} =1-e^{j2\pi\cos\theta}.
A magnitude do fator de array é
\bigl|AF(\theta)\bigr| =\bigl|1-e^{j2\pi\cos\theta}\bigr| =2\bigl|\sin(\pi\cos\theta)\bigr|.

Passo 4

Para encontrar os máximos de \bigl|AF(\theta)\bigr|, buscamos \sin(\pi\cos\theta)=\pm1. Isso ocorre quando
\pi\cos\theta=\frac{(2m+1)\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta=\frac{2m+1}{2}.
No intervalo \theta\in[0,\pi] só há soluções para m=0 e m=-1, dando \cos\theta=\pm\tfrac12. Logo
\theta_{0}=60^\circ\quad\text{e}\quad\theta_{0}=120^\circ.

Passo 5

A expressão normalizada do fator de array divide \bigl|AF(\theta)\bigr| pelo seu valor máximo 2, resultando em
AF_{\mathrm{norm}}(\theta) =\frac{\bigl|AF(\theta)\bigr|}{2} =\bigl|\sin(\pi\cos\theta)\bigr|.

Resposta

(a) \displaystyle AF(\theta)=1+e^{j(2\pi\cos\theta+\pi)}, com magnitude \bigl|AF(\theta)\bigr|=2\bigl|\sin(\pi\cos\theta)\bigr|.
(b) \theta_{0}=60^\circ e 120^\circ.
(c) \displaystyle AF_{\mathrm{norm}}(\theta)=\bigl|\sin(\pi\cos\theta)\bigr|.

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