Questão 6 - Aplicação da Tabela Z(1,5 pontos)
O tempo de atendimento em um posto de saúde segue uma distribuição normal com média de 20 minutos e desvio-padrão de 4 minutos.
Qual a probabilidade de um paciente ser atendido em menos de 18 minutos?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Tempo de atendimento X tem distribuição normal com média \mu=20 minutos e desvio-padrão \sigma=4 minutos.
  • Pergunta: Qual a probabilidade de um paciente ser atendido em menos de 18 minutos, ou seja, calcular P(X<18).

Passo 2

Conceito e estratégia (explicação didática): quando X segue uma distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2), é comum transformar X na variável padronizada Z que segue a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1). A fórmula de padronização é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde:
  • X é a variável original (tempo de atendimento),
  • \mu é a média da distribuição,
  • \sigma é o desvio-padrão,
  • Z é a variável padronizada com média 0 e desvio-padrão 1.
A vantagem: as tabelas Z (ou calculadoras) dão probabilidades para Z, e com essa transformação passamos de P(X<18) para uma probabilidade em termos de Z.

Passo 3

Aplicando a padronização ao valor pedido 18. Substituímos na fórmula:
Z=\frac{18-\mu}{\sigma}=\frac{18-20}{4}.
Agora fazemos a conta passo a passo:
18-20=-2,
\frac{-2}{4}=-0,5.
Logo o valor padronizado é Z=-0,5. Isso significa que 18 minutos está 0,5 desvios-padrão abaixo da média.

Passo 4

Reescrevemos a probabilidade em termos de Z:
P(X<18)=P\!\left(Z< -0,5\right).
Agora precisamos obter P(Z<-0,5) usando a tabela Z ou uma tabela de valores da normal padrão.

Passo 5

Como usar a tabela Z (explicação prática e alternativa didática):
  • Muitas tabelas dão P(Z<z) diretamente para z\ge0. Para z<0 usamos a simetria da normal: a distribuição é simétrica em torno de 0. Assim
P(Z<-a)=P(Z>a)=1-P(Z\le a).
Outra forma equivalente é: se a tabela fornece a área entre 0 e a, então
P(Z<-a)=0,5-\text{área entre }0\text{ e }a.á
Usando valores padrão da tabela para a=0,5:
  • P(Z<0,5)\approx 0,6915 (valor da tabela cumulativa),
  • ou a área entre 0 e 0,5 é \approx 0,1915.
Assim, usando simetria:
P(Z<-0,5)=1-P(Z<0,5)=1-0,6915=0,3085.
Ou usando a outra forma:
P(Z<-0,5)=0,5-0,1915=0,3085.

Passo 6

Interpretação final e arredondamento: a probabilidade pedida é aproximadamente 0,3085, ou seja, cerca de 30,85\%. Isso quer dizer: em média, cerca de 31\% dos pacientes são atendidos em menos de 18 minutos.

Resposta

0,3085 (aprox.) / 30,85\%

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