Questão 4 - Distribuição Normal ( 1,0 pontos)
Suponha que a altura de adultos siga uma distribuição normal com média de 1,70 \mathrm{~m} e desviopadrão de 0,08 \mathrm{~m}. Qual a probabilidade de medir entre 1,68 \mathrm{~m} e 1,75 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado diz que a altura de adultos segue uma distribuição normal com média 1,70\\ \mathrm{m} e desvio-padrão 0,08\\ \mathrm{m}. Ele pede a probabilidade de medir entre 1,68\\ \mathrm{m} e 1,75\\ \mathrm{m}.\n
Informações dadas:
\text{média } \mu = 1,70,\qquad \text{desvio-padrão } \sigma = 0,08,éã
\text{queremos } P\bigl(1,68 < X < 1,75\bigr).

Passo 2

O que precisamos usar: se X é normal com média \mu e desvio \sigma, escrevemos X \sim N(\mu,\sigma^2). A forma prática de calcular probabilidades usa a padronização para a variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1.\n
Definição da padronização:
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z é a variável normal padrão; trocar X por Z facilita porque temos tabelas (ou funções) para a função de distribuição acumulada da normal padrão, que denotamos por \Phi(z)=P(Z\le z). Explicando com calma: \Phi(z) dá a probabilidade de a normal padrão ser menor ou igual a z. Usamos essa tabela para encontrar probabilidades como P(a<X<b)=\Phi\bigl(\tfrac{b-\mu}{\sigma}\bigr)-\Phi\bigl(\tfrac{a-\mu}{\sigma}\bigr).

Passo 3

Vamos calcular os valores z correspondentes aos extremos 1,68 e 1,75 usando a fórmula da padronização. Mostrar passo a passo as contas:\n
Para x=1,68:
z_1=\frac{1,68-1,70}{0,08}=\frac{-0,02}{0,08}=-0,25.\n
Para x=1,75:
z_2=\frac{1,75-1,70}{0,08}=\frac{0,05}{0,08}=0,625.

Passo 4

Expressamos a probabilidade pedida em termos de \Phi:
P\bigl(1,68 < X < 1,75\bigr)=P\bigl(z_1 < Z < z_2\bigr)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1).
Como z_1 é negativo, usamos a simetria da normal padrão: \Phi(-a)=1-\Phi(a) para a>0. Portanto
\Phi(z_1)=\Phi(-0,25)=1-\Phi(0,25).
Substituindo:
P\bigl(1,68 < X < 1,75\bigr)=\Phi(0,625)-\bigl(1-\Phi(0,25)\bigr)=\Phi(0,625)+\Phi(0,25)-1.

Passo 5

Agora precisamos dos valores numéricos de \Phi(0,25) e \Phi(0,625). Consultando a tabela da normal padrão (ou uma calculadora), obtemos os valores seguintes da tabela:
\Phi(0,25)\approx 0,5987.
A tabela costuma dar \Phi para dois decimais; para \Phi(0,625) fazemos uma pequena interpolação entre \Phi(0,62) e \Phi(0,63). Valores da tabela:
\Phi(0,62)=0,7324,\qquad \Phi(0,63)=0,7357.
Interpolando linearmente para 0,625 (metade do caminho entre 0,62 e 0,63):
\Phi(0,625)\approx \frac{0,7324+0,7357}{2}=0,73405\approx 0,7341.

Passo 6

Agora calculamos a probabilidade:
P\bigl(1,68 < X < 1,75\bigr)=0,73405+0,5987-1=0,33275\approx 0,333.
Em porcentagem isso é aproximadamente 33,3\%. Um jeito rápido de checar mentalmente: a distância de 1,68 até a média é só -0,25 desvios, e 1,75 fica a +0,625 desvios; faz sentido que a probabilidade entre esses pontos seja pouco mais de um terço da distribuição.

Passo 7

Resumo prático para a prova (receita que dá certo):
  1. Padronize cada extremo com z=(x-\mu)/\sigma.
  2. Use tabela/funcão \Phi para obter \Phi(z).
  3. Calcule P(a<X<b)=\Phi(z_b)-\Phi(z_a).
  4. Se precisar, use \Phi(-a)=1-\Phi(a) para negativos e interpolate se o z tiver três casas. Respire fundo e confie no procedimento — é sistemático e rápido com prática!

Resposta

\;0,333 ( 33,3\%)

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