Questão 5 - Probabilidade em lançamentos de moeda ( 1,5 pontos)
Duas moedas equilibradas são lançadas simultaneamente. Seja X o número de caras na primeira moeda e Y o número de caras na segunda.
a) Construa a distribuição conjunta de (X,Y).
b) Calcule a probabilidade de sair pelo menos uma cara.
c) Determine a esperança matemática de \mathrm{X}+\mathrm{Y}.

Passo 1

O enunciado diz: duas moedas equilibradas são lançadas simultaneamente. Seja \,X, o número de caras na primeira moeda e \,Y, o número de caras na segunda moeda. As perguntas são:
a) Construa a distribuição conjunta de (X,Y).
b) Calcule a probabilidade de sair pelo menos uma cara.
c) Determine a esperança matemática de \,X+Y.
Informações relevantes dadas:
  • As duas moedas são equilibradas (justamente: cara ou coroa com mesma probabilidade).
  • Cada moeda só pode dar cara ou coroa, então \,X\in\{0,1\} e \,Y\in\{0,1\}.
  • Os lançamentos são simultâneos (podemos assumir independência natural entre os resultados das moedas).
A resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos listar o espaço amostral e associar cada resultado aos valores de (X,Y).
  • Resultados possíveis do par de moedas: \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}, onde H = cara e T = coroa.
  • Como as moedas são equilibradas e os lançamentos independentes, cada um dos quatro resultados acima tem probabilidade \frac{1}{4}.
Agora relacionamos cada resultado com (X,Y):
  • (H,H) corresponde a (X,Y)=(1,1).
  • (H,T) corresponde a (X,Y)=(1,0).
  • (T,H) corresponde a (X,Y)=(0,1).
  • (T,T) corresponde a (X,Y)=(0,0).

Passo 3

Construção da distribuição conjunta P_{X,Y}(x,y)=P(X=x,\,Y=y).
Explicação curta do conceito: a distribuição conjunta dá a probabilidade de cada par de valores possíveis (x,y). Aqui há quatro pares possíveis: (0,0),(0,1),(1,0),(1,1). Como vimos cada resultado do par de moedas tem probabilidade \frac{1}{4}, então cada par (x,y) recebe probabilidade \frac{1}{4}.
Podemos escrever isso como tabela (linha = x, coluna = y):
\begin{array}{c|cc} P_{X,Y}(x,y) & y=0 & y=1\\hline x=0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\[6pt] x=1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{array}
Ou de forma funcional:
P_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{4}, & x\in\{0,1\},\\ y\in\{0,1\},\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Verificação rápida (normalização): a soma de todas as probabilidades é
\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1,
como deve ser.]

Passo 4

Cálculo da probabilidade de sair pelo menos uma cara, ou seja \,P(X+Y\ge 1).
Estratégia didática: é mais fácil usar o complemento. O evento “pelo menos uma cara” é o complementar do evento “nenhuma cara” (ou seja ambos deram coroa), que é (X,Y)=(0,0).
  • Primeiro calculamos P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0). Pela tabela do passo anterior, \,P(X=0,Y=0)=\dfrac{1}{4}.
  • Logo
P(X+Y\ge 1)=1-P(X+Y=0)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
Comentário extra curto (para entender na prova): em palavras, entre os quatro resultados possíveis, apenas (T,T) tem zero caras; os outros três têm pelo menos uma cara, então a probabilidade é 3 em 4.

Passo 5

Determinar a esperança (valor esperado) de \,X+Y.
Primeiro, definição e ideia: para uma variável aleatória discreta Z que toma valores z_i com probabilidades p_i, a esperança é
E[Z]=\sum_i z_i\,p_i.
Uma propriedade muito útil e geralmente usada em provas é a linearidade da esperança:
E[X+Y]=E[X]+E[Y],
que vale sempre, independente de X e Y serem independentes ou não. Aqui usaremos essa propriedade porque simplifica.
Calculemos E[X] e E[Y] separadamente (são simétricos):
  • X toma valor 0 com probabilidade P(X=0)=\dfrac{1}{2} e valor 1 com probabilidade P(X=1)=\dfrac{1}{2}. (Explicação: olhando os dois resultados em que a primeira moeda é cara — (H,H) e (H,T) — há 2 de 4 casos, isto é \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.)
  • Portanto
E[X]=0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)=0\cdot\dfrac{1}{2}+1\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.
  • Pelo mesmo raciocínio E[Y]=\dfrac{1}{2}.
Aplicando linearidade:
E[X+Y]=E[X]+E[Y]=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
Verificação alternativa (opcional, mas segura na prova): calcular diretamente pela distribuição conjunta:
E[X+Y]=\sum_{x=0}^1\sum_{y=0}^1 (x+y)\,P_{X,Y}(x,y) =(0+0)\frac{1}{4}+(0+1)\frac{1}{4}+(1+0)\frac{1}{4}+(1+1)\frac{1}{4} = \frac{0+1+1+2}{4}=\frac{4}{4}=1.
Pequena intuição final: em média cada moeda dá meio cara, então duas moedas dão em média 1 cara.

Resposta

a) \begin{array}{c|cc} P_{X,Y}(x,y) & y=0 & y=1\\hline x=0 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4}\\[6pt] x=1 & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{4} \end{array}
b) \dfrac{3}{4}
c) 1]

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