Questão 6: Aplicações
(a) Em um circuito em série contendo um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchoff mostra que a soma das quedas de tensão no indutor (L d id t) e no resistor (Ri) é igual à tensão elétrica (E(t)) no circuito. Dessa forma, temos a seguinte equação diferencial linear para a corrente i(t) :
L d id t+R i=E(t)
em que L e R são constantes conhecidas como indutância e resistência, respectivamente.
Uma bateria de 15 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 14 henry e a resistência é 20 ohms. Determine a corrente i(t) se a corrente inicial é zero.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série de indutor e resistor regido por uma EDO linear de 1ª ordem: Ltfracdidt + R,i = E(t). Aqui L=1/4, R=20, E(t)=15 (constante) e i(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro tornamos a EDO na forma padrão dividindo tudo por L:
didt + RL,i = EL
Substituindo R/L = 20/(1/4)=80 e E/L=15/(1/4)=60, fica:
didt + 80,i = 60

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = e^integral 80,dt = e^80t
Multiplicamos a EDO por mu(t):
e^80tdidt + 80,e^80ti = 60,e^80t
O lado esquerdo é a derivada de i,e^80t.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(i,e^80tr) dt = integral 60,e^80t dt
Isso dá
i,e^80t = 6080e^80t + C = 34e^80t + C
Logo
i(t) = 34 + C e^-80t

Passo 5

Usamos a condição inicial i(0)=0:
0 = 34 + Cimplies C = -34
Substituindo em i(t) obtemos a solução particular.

Passo 6

Assim chegamos à corrente no circuito:
i(t) = 34l(1 - e^-80tr)(ampères) è

Resposta

i(t) = \tfrac{3}{4}\bigl(1 - e^{-80t}\bigr) A

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