Questão 2. Assinale as alternativas corretas.
Considere a seguinte problema de valor inicial para a Equação Diferencial Ordinária (EDO)
& ddotx-6 dotx+9 x=t^2 e^3 t & x(0)=2, dotx(0)=6
( ) Ao aplicar a transformada de Laplace na EDO tem-se:
Lx(s-3)^2-2(s-3)=2(s-3)^3
( ) A transformada de Laplace de x é igual a
Lx=2(s-3)^5+2s-3
( ) Uma solução da EDO pode ser encontrada aplicando a transforma inversa de Laplace na transformada de Laplace, isto é,
x=L^-1Lx
( ) Uma solução da EDO é:
x(t)=e^3 t cdot t^4+2412
( ) Uma solução da EDO é:
x(t)=2 t^4 e^3 t+2 e^3 t

Passo 1

A questão trata de resolver o PVI x''-6x'+9x=t^2e^3t, com x(0)=2, x'(0)=6, usando transformada de Laplace. Vamos precisar lembrar das fórmulas Lx'(s)=sX(s)-x(0), Lx''(s)=s^2X(s)-sx(0)-x'(0) e da transformada de t^2e^3t.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados, obtemos
(s^2X(s)-2s-6)-6(sX(s)-2)+9X(s)=2(s-3)^3

Passo 3

Reagrupando termos em X(s):
(s^2-6s+9)X(s)-2(s-3)=2(s-3)^3,

Passo 4

isto é
(s-3)^2X(s)-2(s-3)=2(s-3)^3

Passo 5

Logo,
X(s)=2/(s-3)^3+2(s-3)(s-3)^2=2(s-3)^5+2(s-3)

Passo 6

Fazendo a transformada inversa:
x(t)=L^-1X(s)=e^3tl(t^412+2r)=e^3tt^4+2412

Passo 7

Analisando as afirmativas:
  1. corresponde exatamente à forma obtida após Laplace. 2) coincide com X(s) que calculamos. 3) é verdadeira (princípio da transformada inversa). 4) coincide com a solução final. 5) é diferente da solução correta.

Resposta

As alternativas corretas são: (1), (2), (3) e (4).

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