Questăo 1. Aplicações em dimensionamento de cargas de elevadores: 0 elevador de cabine dupla da Torre Eiffel, responsável pelo percurso (viagem) do piso térreo ao segundo andar, têm capacidade de espaço para o máximo 46 pessoas adultas (Fonte: https://www.paristickets.com/pt/eiffel-tower/elevators/). Com o objetivo de estimar a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem, considerou-se a seguinte amostra (valores em toneladas):
2,840 2,950 2,820 2,320 2,440 2,210 2,710 2,580 3,250 2,840 2,550
2,920 2,980 2,750 2,910 3,440 2,710 2,990 3,350 2,710 2,740
Assuma que a carga X (em toneladas) de passageiros segue o modelo normal.
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo I C(95 \%) para a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem.
Item b.) (2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média \mu de passageiros, assumindo um erro de estimativa igual a:
i. e=200 quilos. A amostra de viagens é suficiente?
ii. e=150 quilos. A amostra de viagens é suficiente?
iii. e=100 quilos. A amostra de viagens é suficiente?
iv. e=50 quilos. A amostra de viagens é suficiente?
Item c.) (1,0 ponto) Suponha que foi observada uma amostra de 280 viagens com este elevador ao longo do meses de janeiro a maio/2025 obtendo-se um carga média amostral \bar{X}=2,860 toneladas com um desvio-padrão amostral S=0,285 toneladas. Determine e interprete o intervalo IC (95%) para a carga média \mu de passageiros, em toneladas por viagem.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de cargas (em toneladas) observadas em viagens do elevador com os seguintes valores:
2,840,\;2,950,\;2,820,\;2,320,\;2,440,\;2,210,\;2,710,\;2,580,\;3,250,\;2,840,\;2,550,
2,920,\;2,980,\;2,750,\;2,910,\;3,440,\;2,710,\;2,990,\;3,350,\;2,710,\;2,740.
Dados importantes extraídos do enunciado (sem resolver ainda):
\text{tamanho da amostra inicial } n=21.
Assume-se que a carga X segue um modelo normal. O que o exercício pede:
  • Item a) Calcular e interpretar o intervalo de confiança de 95\% para a média \mu (em toneladas) com a amostra de n=21.
  • Item b) Determinar o tamanho de amostra necessário para obter uma margem de erro e dada (quatro casos: e=200 kg, 150 kg, 100 kg, 50 kg) e verificar se a amostra n=21 é suficiente em cada caso.
  • Item c) Com uma amostra de n=280, média amostral \bar{X}=2,860 t e desvio-padrão amostral S=0,285 t, calcular e interpretar o intervalo de confiança de 95\% para \mu.

Passo 2

Cálculo das estatísticas amostrais (para o item a). Primeiro obtemos a média amostral \bar{X} e o desvio-padrão amostral S.
Fórmula da média amostral: \displaystyle \bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. Soma dos 21 valores (peguei os valores do enunciado e somei todos):
\sum_{i=1}^{21} X_i = 59,010\\ \text{toneladas}.
Portanto
\bar{X}=\frac{59,010}{21}=2,810\\ \text{toneladas}.
Agora o desvio-padrão amostral. Fórmula da variância amostral:
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^{2}.
Calculei as diferenças X_i-\bar{X}, seus quadrados e somei; o somatório dos quadrados das diferenças deu
\sum_{i=1}^{21}(X_i-\bar{X})^{2}=1,8830\\ \text{(toneladas)}^{2}.
Logo
S^{2}=\frac{1,8830}{21-1}=\frac{1,8830}{20}=0,09415\\ \text{(toneladas)}^{2},
e
S=\sqrt{0,09415}\approx 0,307\\ \text{toneladas}.
Agora construímos o intervalo de confiança de 95\% para \mu usando a distribuição t porque n=21 é pequeno e o desvio é estimado pela amostra. Fórmula do IC:
\text{IC }(1-\alpha):\quad \bar{X}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{S}{\sqrt{n}}.
Para 95\% temos \alpha=0,05 e graus de liberdade n-1=20. O valor crítico é
t_{0{,}975,\;20}\approx 2,086.
Cálculo da margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,20}\,\frac{S}{\sqrt{n}}=2{,}086\cdot\frac{0{,}307}{\sqrt{21}}.
\sqrt{21}\approx 4{,}583\quad\Rightarrow\quad \frac{0{,}307}{\sqrt{21}}\approx 0{,}0670.
\text{ME}\approx 2{,}086\cdot 0{,}0670 \approx 0{,}140.
Portanto o IC 95\% é
\bar{X}\pm \text{ME} \Rightarrow 2{,}810 \pm 0{,}140,
ou seja
\text{IC}_{95\%} \approx (2{,}670\\ \text{t},\;2{,}950\\ \text{t}).
Interpretação didática e curta: isso significa que, com base nessa amostra e assumindo normalidade, temos 95\% de confiança de que a verdadeira média \mu da carga por viagem está entre 2{,}670 t e 2{,}950 t. Em linguagem mais amiga: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos ICs do mesmo jeito, cerca de 95\% desses intervalos conteriam o verdadeiro \mu.

Passo 3

Item b) — quanto deve ser o tamanho de amostra para um erro máximo e dado.
Explicação do método: quando queremos uma margem de erro pré-fixada e para um IC de nível 1-\alpha, uso a fórmula aproximada (método prático, usando uma estimativa para o desvio populacional):
e = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad\Rightarrow\quad n=\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^{2}.
Aqui usamos z_{0{,}975}=1{,}96 (aproximação normal) e substituímos \sigma por S obtido da amostra piloto ( S\approx 0{,}307 t). Convertemos os erros dados em toneladas:
200\\ \text{kg}=0{,}200\\ \text{t},\quad 150\\ \text{kg}=0{,}150\\ \text{t},\quad 100\\ \text{kg}=0{,}100\\ \text{t},\quad 50\\ \text{kg}=0{,}050\\ \text{t}.
Agora calculo para cada caso (sempre arredondar n para cima, pois precisamos de um inteiro que satisfaça a desigualdade):
i) e=0{,}200 t:
n=\left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}307}{0{,}200}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}60172}{0{,}200}\right)^{2}=(3{,}0086)^{2}\approx 9{,}05.
Arredondando para cima: n=10. Comparação: a nossa amostra atual tem n=21\ge 10, logo é suficiente.
ii) e=0{,}150 t:
n=\left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}307}{0{,}150}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}60172}{0{,}150}\right)^{2}=(4{,}0115)^{2}\approx 16{,}09.
Arredondando para cima: n=17. Comparação: 21\ge 17, portanto a amostra é suficiente.
iii) e=0{,}100 t:
n=\left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}307}{0{,}100}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}60172}{0{,}100}\right)^{2}=(6{,}0172)^{2}\approx 36{,}21.
Arredondando para cima: n=37. Comparação: 21<37, portanto a amostra não é suficiente.
iv) e=0{,}050 t:
n=\left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}307}{0{,}050}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}60172}{0{,}050}\right)^{2}=(12{,}0344)^{2}\approx 144{,}83.
Arredondando para cima: n=145. Comparação: 21\ll 145, não é suficiente.
Observação pedagógica: usei z em vez de t porque, ao determinar tamanho de amostra antes de coletar dados, o procedimento padrão é usar a aproximação normal; como usamos um S piloto a fórmula fica prática. Se fosse necessário um ajuste mais exato usar-se-ia iteração com quantil t, mas o ganho é pequeno para estimativas práticas.

Passo 4

Item c) — IC 95\% com n=280, \bar{X}=2{,}860 t e S=0{,}285 t.
Explicação rápida do método: com amostra grande ( n=280) a distribuição t e a normal se aproximam muito; podemos usar z_{0{,}975}=1{,}96 ou o t com 279 df (praticamente igual). A fórmula do IC é
\bar{X}\pm z_{0{,}975}\,\frac{S}{\sqrt{n}}.
Cálculo da margem de erro:
\frac{S}{\sqrt{n}}=\frac{0{,}285}{\sqrt{280}}\approx\frac{0{,}285}{16{,}733}\approx 0{,}01704.
\text{ME}=1{,}96\cdot 0{,}01704\approx 0{,}0334.
Portanto o IC 95\% é
2{,}860\pm 0{,}0334,
ou seja
\text{IC}_{95\%}\approx (2{,}827\\ \text{t},\;2{,}893\\ \text{t}).
Interpretação: com a amostra maior (280 viagens) estamos mais precisos — temos 95\% de confiança de que a média verdadeira \mu está entre 2{,}827 t e 2{,}893 t. Isso significa um intervalo bem mais estreito que o do item (a).

Resposta

Item a) \text{IC}_{95\%}\approx (2{,}670\\ \text{t},\;2{,}950\\ \text{t}).
Item b)
i. e=200\\ \text{kg}=0{,}200\\ \text{t}:\\ n=\lceil 9{,}05\rceil=10. A amostra de 21 viagens é suficiente.
ii. e=150\\ \text{kg}=0{,}150\\ \text{t}:\\ n=\lceil 16{,}09\rceil=17. A amostra de 21 viagens é suficiente.
iii. e=100\\ \text{kg}=0{,}100\\ \text{t}:\\ n=\lceil 36{,}21\rceil=37. A amostra de 21 viagens NÃO é suficiente.
iv. e=50\\ \text{kg}=0{,}050\\ \text{t}:\\ n=\lceil 144{,}83\rceil=145. A amostra de 21 viagens NÃO é suficiente.
Item c) \text{IC}_{95\%}\approx (2{,}827\\ \text{t},\;2{,}893\\ \text{t}).

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