Questăo 1. Aplicações em dimensionamento de cargas de elevadores: 0 elevador de cabine dupla da Torre Eiffel, responsável pelo percurso (viagem) do piso térreo ao segundo andar, têm capacidade de espaço para o máximo 46 pessoas adultas (Fonte: https://www.paristickets.com/pt/eiffel-tower/elevators/). Com o objetivo de estimar a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem, considerou-se a seguinte amostra (valores em toneladas):
2,840
2,950
2,820
2,320
2,440
2,210
2,710
2,580
3,250
2,840
2,550
2,920
2,980
2,750
2,910
3,440
2,710
2,990
3,350
2,710
2,740
Assuma que a carga
(em toneladas) de passageiros segue o modelo normal.
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo
para a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem.
Item b.) (2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média
de passageiros, assumindo um erro de estimativa igual a:
i.
quilos. A amostra de viagens é suficiente?
ii.
quilos. A amostra de viagens é suficiente?
iii.
quilos. A amostra de viagens é suficiente?
iv.
quilos. A amostra de viagens é suficiente?
Item c.) (1,0 ponto) Suponha que foi observada uma amostra de 280 viagens com este elevador ao longo do meses de janeiro a maio/2025 obtendo-se um carga média amostral
toneladas com um desvio-padrão amostral
toneladas. Determine e interprete o intervalo IC (95%) para a carga média
de passageiros, em toneladas por viagem.
| 2,840 | 2,950 | 2,820 | 2,320 | 2,440 | 2,210 | 2,710 | 2,580 | 3,250 | 2,840 | 2,550 |
| 2,920 | 2,980 | 2,750 | 2,910 | 3,440 | 2,710 | 2,990 | 3,350 | 2,710 | 2,740 |
Item a.) ( 1,0 ponto) Determine e interprete o intervalo
Item b.) (2,0 pontos) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de viagens com este elevador para estimar a carga média
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de cargas (em toneladas) observadas em viagens do elevador com os seguintes valores:
Dados importantes extraídos do enunciado (sem resolver ainda):
Assume-se que a carga
segue um modelo normal. O que o exercício pede:
- Item a) Calcular e interpretar o intervalo de confiança de
para a média (em toneladas) com a amostra de . - Item b) Determinar o tamanho de amostra necessário para obter uma margem de erro
dada (quatro casos: kg, kg, kg, kg) e verificar se a amostra é suficiente em cada caso. - Item c) Com uma amostra de
, média amostral t e desvio-padrão amostral t, calcular e interpretar o intervalo de confiança de para .
Passo 2
Cálculo das estatísticas amostrais (para o item a). Primeiro obtemos a média amostral
e o desvio-padrão amostral
.
Fórmula da média amostral:
. Soma dos 21 valores (peguei os valores do enunciado e somei todos):
Portanto
Agora o desvio-padrão amostral. Fórmula da variância amostral:
Calculei as diferenças
, seus quadrados e somei; o somatório dos quadrados das diferenças deu
Logo
e
Agora construímos o intervalo de confiança de
para
usando a distribuição
porque
é pequeno e o desvio é estimado pela amostra. Fórmula do IC:
Para
temos
e graus de liberdade
. O valor crítico é
Cálculo da margem de erro:
Portanto o IC
é
ou seja
Interpretação didática e curta: isso significa que, com base nessa amostra e assumindo normalidade, temos
de confiança de que a verdadeira média
da carga por viagem está entre
t e
t. Em linguagem mais amiga: se repetíssemos muitas amostras do mesmo tamanho e construíssemos ICs do mesmo jeito, cerca de
desses intervalos conteriam o verdadeiro
.
Passo 3
Item b) — quanto deve ser o tamanho de amostra para um erro máximo
dado.
Explicação do método: quando queremos uma margem de erro pré-fixada
para um IC de nível
, uso a fórmula aproximada (método prático, usando uma estimativa para o desvio populacional):
Aqui usamos
(aproximação normal) e substituímos
por
obtido da amostra piloto (
t). Convertemos os erros dados em toneladas:
Agora calculo para cada caso (sempre arredondar
para cima, pois precisamos de um inteiro que satisfaça a desigualdade):
i)
t:
Arredondando para cima:
. Comparação: a nossa amostra atual tem
, logo é suficiente.
ii)
t:
Arredondando para cima:
. Comparação:
, portanto a amostra é suficiente.
iii)
t:
Arredondando para cima:
. Comparação:
, portanto a amostra não é suficiente.
iv)
t:
Arredondando para cima:
. Comparação:
, não é suficiente.
Observação pedagógica: usei
em vez de
porque, ao determinar tamanho de amostra antes de coletar dados, o procedimento padrão é usar a aproximação normal; como usamos um
piloto a fórmula fica prática. Se fosse necessário um ajuste mais exato usar-se-ia iteração com quantil
, mas o ganho é pequeno para estimativas práticas.
Passo 4
Item c) — IC
com
,
t e
t.
Explicação rápida do método: com amostra grande (
) a distribuição
e a normal se aproximam muito; podemos usar
ou o
com 279 df (praticamente igual). A fórmula do IC é
Cálculo da margem de erro:
Portanto o IC
é
ou seja
Interpretação: com a amostra maior (280 viagens) estamos mais precisos — temos
de confiança de que a média verdadeira
está entre
t e
t. Isso significa um intervalo bem mais estreito que o do item (a).
Resposta
Item a)
.
Item b)
i. . A amostra de
viagens é suficiente.
ii. . A amostra de
viagens é suficiente.
iii. . A amostra de
viagens NÃO é suficiente.
iv. . A amostra de
viagens NÃO é suficiente.
i.
ii.
iii.
iv.
Item c)
.