Questão 3. Aplicações na gestão cooperativa comercial e empresarial. Com o objetivo de estimar a proporção populacional
de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA, foi consultada uma amostra de
pagamentos realizados em 2025, dentre os quais foram observados 341 pagamentos nesta modalidade.
Item a.)
Determine e interprete o
para a proporção populacional de pagamentos via PIX assumindo uma margem de erro de
:
Item b.) (1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para:
(i) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?
Item a.)
Item b.) (1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para:
(i) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?
Passo 1
O enunciado pede para estimar a proporção populacional
de pagamentos via PIX no comércio de Barreiras - BA usando uma amostra. Perguntas concretas:
- Item (a): Determine e interprete o intervalo de confiança a
para , assumindo uma margem de erro de . - Item (b): Calcule o tamanho de amostra necessário para obter margem de erro
a nas duas situações abaixo e diga se a amostra atual é suficiente:
(i) sem informação prévia (ou seja, sem estimativa inicial de);
(ii) usando a estimativa amostral dada no enunciado.
Informações dadas no enunciado (vou listá‑las exatamente): - Tamanho da amostra:
. - Número de pagamentos via PIX observados:
. - Margem de erro desejada:
(ou seja, ). - Nível de confiança:
.
Passo 2
Calcular a proporção amostral
a partir dos dados fornecidos.
Faço a divisão:
Interpretação numérica: na amostra,
dos pagamentos foram via PIX.
Passo 3
Explico a fórmula do intervalo de confiança para proporção e o papel da margem de erro.
- Para uma proporção amostral
, um intervalo de confiança simétrico é dado por
onde
é a margem de erro.
- A margem de erro ligada ao nível de confiança
(aqui ) e ao desvio‑padrão amostral é, em teoria,
onde:
-
é o quantil da distribuição normal padrão (para , ); -
é a proporção amostral; -
é o tamanho da amostra. - No item (a) o enunciado pede para assumir explicitamente
. Vou usar isso para montar o IC pedido, mas depois mostro também o calculado a partir da fórmula para comparação (importante saber se a suposição é otimista ou não).
Passo 4
Construção do intervalo de confiança a
usando a margem de erro assumida
.
Cálculo dos limites:
Cálculo dos limites:
Em percentuais: intervalo de
até
.
Interpretação intuitiva e correta (frequentista): com o procedimento usado (amostrar repetidamente e calcular tais intervalos), aproximadamente desses intervalos conteriam a verdadeira proporção populacional
. Para este dado resultado, estamos
confiantes de que
está entre
e
.
Interpretação intuitiva e correta (frequentista): com o procedimento usado (amostrar repetidamente e calcular tais intervalos), aproximadamente
Passo 5
Comparação: qual seria a margem de erro real calculada a partir dos dados (sem assumir
)? Faço o cálculo para ver se
era plausível.
Primeiro o desvio‑padrão amostral (erro padrão):
Primeiro o desvio‑padrão amostral (erro padrão):
Calculo intermediário:
Agora o
para
usando
:
Portanto, se tivéssemos usado a fórmula padrão, a margem de erro seria cerca de
, e o IC correspondente seria aproximadamente
ou seja, cerca de
a
. Conclusão: a suposição
foi um pouco otimista (o erro real com essa amostra seria maior,
).
Passo 6
Agora a parte (b): explico a fórmula usada para calcular o tamanho da amostra necessário para uma margem de erro
a um dado nível de confiança.
Fórmula direta (assumindo população grande ou sem correção por população finita):
Fórmula direta (assumindo população grande ou sem correção por população finita):
onde
é a proporção usada para a estimativa de variabilidade. Observações importantes:
- Quando não há estimativa prévia de
, usa‑se porque atinge seu máximo em e isso garante um tamanho de amostra conservador (máximo exigido). - Depois de calcular
se obter um número não inteiro, devemos sempre arredondar para cima (teto) para garantir que a margem de erro seja no máximo .
Passo 7
Caso (i): sem informação prévia, tomo
. Uso
e
.
Cálculos:
Cálculos:
Agora
Arredondando para cima:
Comparação com a amostra disponível
: a amostra atual não é suficiente (precisa de
observações para garantir
com
de confiança sem nenhum palpite prévio sobre
).
Passo 8
Caso (ii): usando a estimativa amostral
do enunciado.
Calculo de :
Calculo de
Aplicando a fórmula:
Arredondando para cima:
Comparação com
: novamente a amostra atual não é suficiente; seriam necessárias
observações para obter
com
de confiança usando a estimativa
.
Passo 9
Resumo interpretativo e recomendação prática (curta):
- Se quer ter margem de erro no máximo
a , precisa coletar mais observações: se não houver palpite inicial, ou se usar a estimativa amostral atual. - A amostra atual de
observações é insuficiente para garantir ; com o erro real (calculado) é cerca de , o que produz um IC ligeiramente mais largo.
Resposta
(a)
(ou seja,
a
).
(b)(i) . Não,
não é suficiente.
(b)(ii) . Não,
não é suficiente.
(b)(i)
(b)(ii)