Questão 3. Aplicações na gestão cooperativa comercial e empresarial. Com o objetivo de estimar a proporção populacional p de pagamentos via PIX no comércio municipal de Barreiras - BA, foi consultada uma amostra de n=620 pagamentos realizados em 2025, dentre os quais foram observados 341 pagamentos nesta modalidade.
Item a.) (2,0) Determine e interprete o I C(95 \%) para a proporção populacional de pagamentos via PIX assumindo uma margem de erro de 3,5 \% :
Item b.) (1,0 ponto) Mostre qual deveria ser o tamanho da amostra de pagamentos para:
(i) Considerando que ainda não haja nenhuma amostra prévia. A amostra de pagamentos é suficiente?
(ii) Considerando os dados amostrais no enunciado. A amostra de pagamentos é suficiente?

Passo 1

O enunciado pede para estimar a proporção populacional p de pagamentos via PIX no comércio de Barreiras - BA usando uma amostra. Perguntas concretas:
  • Item (a): Determine e interprete o intervalo de confiança a 95\% para p, assumindo uma margem de erro de 3,5\%.
  • Item (b): Calcule o tamanho de amostra necessário para obter margem de erro 3,5\% a 95\% nas duas situações abaixo e diga se a amostra atual é suficiente:
    (i) sem informação prévia (ou seja, sem estimativa inicial de p);
    (ii) usando a estimativa amostral dada no enunciado.
    Informações dadas no enunciado (vou listá‑las exatamente):
  • Tamanho da amostra: n=620.
  • Número de pagamentos via PIX observados: 341.
  • Margem de erro desejada: 3,5\% (ou seja, E=0,035).
  • Nível de confiança: 95\%.

Passo 2

Calcular a proporção amostral \hat{p} a partir dos dados fornecidos.
\hat{p}=\frac{341}{620}
Faço a divisão:
\hat{p}=\frac{341}{620}=0,55.
Interpretação numérica: na amostra, 55\% dos pagamentos foram via PIX.

Passo 3

Explico a fórmula do intervalo de confiança para proporção e o papel da margem de erro.
  • Para uma proporção amostral \hat{p}, um intervalo de confiança simétrico é dado por
\hat{p}\pm E,
onde E é a margem de erro.
  • A margem de erro ligada ao nível de confiança 1-\alpha (aqui 95\%) e ao desvio‑padrão amostral é, em teoria,
E=z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},
onde:
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão (para 95\%, z_{0,975}=1,96);
  • \hat{p} é a proporção amostral;
  • n é o tamanho da amostra.
  • No item (a) o enunciado pede para assumir explicitamente E=0,035. Vou usar isso para montar o IC pedido, mas depois mostro também o E calculado a partir da fórmula para comparação (importante saber se a suposição é otimista ou não).

Passo 4

Construção do intervalo de confiança a 95\% usando a margem de erro assumida E=0,035.
Cálculo dos limites:
\text{limite inferior}=\hat{p}-E=0,55-0,035=0,515,
\text{limite superior}=\hat{p}+E=0,55+0,035=0,585.
Em percentuais: intervalo de 51,5\% até 58,5\%.
Interpretação intuitiva e correta (frequentista): com o procedimento usado (amostrar repetidamente e calcular tais intervalos), aproximadamente 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção populacional p. Para este dado resultado, estamos 95\% confiantes de que p está entre 51,5\% e 58,5\%.

Passo 5

Comparação: qual seria a margem de erro real calculada a partir dos dados (sem assumir E)? Faço o cálculo para ver se E=0,035 era plausível.
Primeiro o desvio‑padrão amostral (erro padrão):
\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0,55\cdot(1-0,55)}{620}}=\sqrt{\frac{0,55\cdot0,45}{620}}=\sqrt{\frac{0,2475}{620}}.
Calculo intermediário:
\frac{0,2475}{620}\approx0,00039919,
\sqrt{0,00039919}\approx0,01998.
Agora o E para 95\% usando z_{0,975}=1,96:
E_{\text{real}}=1,96\cdot0,01998\approx0,03916\;(\text{ou }3,916\%).
Portanto, se tivéssemos usado a fórmula padrão, a margem de erro seria cerca de 3,92\%, e o IC correspondente seria aproximadamente
0,55\pm0,03916 \Rightarrow [0,5108,\;0,5892]
ou seja, cerca de 51,08\% a 58,92\%. Conclusão: a suposição E=3,5\% foi um pouco otimista (o erro real com essa amostra seria maior, \approx3,92\%).

Passo 6

Agora a parte (b): explico a fórmula usada para calcular o tamanho da amostra necessário para uma margem de erro E a um dado nível de confiança.
Fórmula direta (assumindo população grande ou sem correção por população finita):
n=\frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}},
onde p é a proporção usada para a estimativa de variabilidade. Observações importantes:
  • Quando não há estimativa prévia de p, usa‑se p=0,5 porque p(1-p) atinge seu máximo em p=0,5 e isso garante um tamanho de amostra conservador (máximo exigido).
  • Depois de calcular n se obter um número não inteiro, devemos sempre arredondar para cima (teto) para garantir que a margem de erro seja no máximo E.

Passo 7

Caso (i): sem informação prévia, tomo p=0,5. Uso z_{0,975}=1,96 e E=0,035.
Cálculos:
z_{0,975}^{2}=1,96^{2}=3,8416,
p(1-p)=0,5\cdot0,5=0,25,
E^{2}=0,035^{2}=0,001225.
Agora
n=\frac{3,8416\cdot0,25}{0,001225}=\frac{0,9604}{0,001225}\approx784,3265306.
Arredondando para cima:
n=785.
Comparação com a amostra disponível n=620: a amostra atual não é suficiente (precisa de 785 observações para garantir E\le0,035 com 95\% de confiança sem nenhum palpite prévio sobre p).

Passo 8

Caso (ii): usando a estimativa amostral \hat{p}=0,55 do enunciado.
Calculo de p(1-p):
\hat{p}(1-\hat{p})=0,55\cdot0,45=0,2475.
Aplicando a fórmula:
n=\frac{3,8416\cdot0,2475}{0,001225}=\frac{0,950796}{0,001225}\approx776,3265306.
Arredondando para cima:
n=777.
Comparação com n=620: novamente a amostra atual não é suficiente; seriam necessárias 777 observações para obter E\le0,035 com 95\% de confiança usando a estimativa \hat{p}=0,55.

Passo 9

Resumo interpretativo e recomendação prática (curta):
  • Se quer ter margem de erro no máximo 3,5\% a 95\%, precisa coletar mais observações: 785 se não houver palpite inicial, ou 777 se usar a estimativa amostral atual.
  • A amostra atual de 620 observações é insuficiente para garantir E=3,5\%; com 620 o erro real (calculado) é cerca de 3,92\%, o que produz um IC ligeiramente mais largo.

Resposta

(a) IC_{95\%} = [0,515,\;0,585] (ou seja, 51,5\% a 58,5\%).
(b)(i) n=785. Não, n=620 não é suficiente.
(b)(ii) n=777. Não, n=620 não é suficiente.

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