Questão 1. Aplicações em empresas prestadoras de serviço: Uma grande empresa de serviços do ramo de TV por assinatura estimou o tempo de atendimento ao cliente (em minutos) que os técnicos demoram para resolver as ocorrências de falhas no serviço. Considerando uma amostra aleatória de
técnicos, o intervalo de confiança
obtido para o tempo médio
foi o seguinte:
Item a.) (1,0 ponto) Assumindo que o tempo
segue uma distribuição normal com variância populacional
conhecida, qual é o valor do desvio-padrão populacional
? Mostre como você encontrou este valor. Item b.) ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança e considerando o valor do desvio-padrão populacional
encontrado no item anterior, qual deve ser o tamanho da amostra de técnicos considerando um erro de estimativa de
minutos?
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de tamanho
e um intervalo de confiança de
para a média
:
As perguntas são:
(a) assumindo que é normal com variância populacional conhecida, encontrar o desvio-padrão populacional
(mostrando como foi obtido);
(b) usando esse valor de e o mesmo nível de confiança (
), encontrar o tamanho de amostra necessário para que o erro de estimativa seja
minutos.
(a) assumindo que
(b) usando esse valor de
Passo 2
Relembrando a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional
é conhecida: para nível de confiança
,
onde:
-
é a média amostral (o centro do intervalo); -
é o quantil da Normal padrão tal que (para , e ); - o termo
é a semi‑amplitude (ou margem de erro) do intervalo.
Vamos usar essa relação para extrair
a partir da semi‑amplitude observada no intervalo fornecido.
Passo 3
Calcule a semi‑amplitude (meio do comprimento do intervalo). O comprimento do intervalo é
, então a semi‑amplitude
é
Também podemos obter a média amostral (centro do intervalo) como verificação:
Passo 4
A relação entre a semi‑amplitude
e
é
Isolando
,
Para
de confiança temos
. Substituindo
e
:
Passo 5
Agora fazemos as contas passo a passo (aproximações decimais explícitas):
Arredondando com duas casas decimais, obtemos
Passo 6
Para o item (b), a fórmula para o tamanho amostral necessário quando
é conhecida e se quer um erro máximo
ao nível de confiança
é
Aqui
,
é o valor encontrado no item (a) e
.
Passo 7
Substituindo os valores:
Calcule o numerador:
dividindo por
:
Agora elevando ao quadrado:
Como o tamanho de amostra deve ser um inteiro e precisamos garantir que o erro seja no máximo
minutos, devemos arredondar para cima (usar o teto):
Resposta
(a)
minutos
(b) técnicos
(b)