Questão 1. Aplicações em empresas prestadoras de serviço: Uma grande empresa de serviços do ramo de TV por assinatura estimou o tempo de atendimento ao cliente (em minutos) que os técnicos demoram para resolver as ocorrências de falhas no serviço. Considerando uma amostra aleatória de n=44 técnicos, o intervalo de confiança I C(95 \%) obtido para o tempo médio \mu foi o seguinte:
\text { [26,65 minutos; } 32,95 \text { minutos] }
Item a.) (1,0 ponto) Assumindo que o tempo X segue uma distribuição normal com variância populacional \sigma^{2} conhecida, qual é o valor do desvio-padrão populacional \sigma ? Mostre como você encontrou este valor. Item b.) ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança e considerando o valor do desvio-padrão populacional \sigma encontrado no item anterior, qual deve ser o tamanho da amostra de técnicos considerando um erro de estimativa de e=2 minutos?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=44 e um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu:
\text{[26,65 minutos; 32,95 minutos]}.
As perguntas são:
(a) assumindo que X é normal com variância populacional conhecida, encontrar o desvio-padrão populacional \sigma (mostrando como foi obtido);
(b) usando esse valor de \sigma e o mesmo nível de confiança ( 95\%), encontrar o tamanho de amostra necessário para que o erro de estimativa seja e=2 minutos.

Passo 2

Relembrando a fórmula do intervalo de confiança para a média quando a variância populacional \sigma^{2} é conhecida: para nível de confiança 1-\alpha,
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (o centro do intervalo);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da Normal padrão tal que P(|Z|>z_{\alpha/2})=\alpha (para 95\%, \alpha=0,05 e z_{0,025}=1,96);
  • o termo z_{\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é a semi‑amplitude (ou margem de erro) do intervalo.
Vamos usar essa relação para extrair \sigma a partir da semi‑amplitude observada no intervalo fornecido.

Passo 3

Calcule a semi‑amplitude (meio do comprimento do intervalo). O comprimento do intervalo é 32,95-26,65, então a semi‑amplitude E é
E=\frac{32,95-26,65}{2}=\frac{6,30}{2}=3,15\\ \text{minutos}.
Também podemos obter a média amostral (centro do intervalo) como verificação:
\bar{X}=\frac{26,65+32,95}{2}=\frac{59,60}{2}=29,80\\ \text{minutos}.

Passo 4

A relação entre a semi‑amplitude E e \sigma é
E = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Isolando \sigma,
\sigma = \frac{E\,\sqrt{n}}{z_{\alpha/2}}.
Para 95\% de confiança temos z_{\alpha/2}=z_{0,025}=1,96. Substituindo E=3,15 e n=44:
\sigma = \frac{3,15\sqrt{44}}{1,96}.

Passo 5

Agora fazemos as contas passo a passo (aproximações decimais explícitas):
\sqrt{44}\approx 6,633249,
3,15\sqrt{44}\approx 3,15\cdot 6,633249 \approx 20,894736,
\sigma \approx \frac{20,894736}{1,96}\approx 10,661123.
Arredondando com duas casas decimais, obtemos
\sigma \approx 10,66\\ \text{minutos}.

Passo 6

Para o item (b), a fórmula para o tamanho amostral necessário quando \sigma é conhecida e se quer um erro máximo e ao nível de confiança 1-\alpha é
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{e}\right)^{2}.
Aqui z_{\alpha/2}=1,96, \sigma é o valor encontrado no item (a) e e=2.

Passo 7

Substituindo os valores:
n = \left(\frac{1,96\cdot 10,661123}{2}\right)^{2}.
Calcule o numerador:
1,96\cdot 10,661123 \approx 20,894736
dividindo por 2:
\frac{20,894736}{2}=10,447368.
Agora elevando ao quadrado:
n \approx 10,447368^{2}\approx 109,13.
Como o tamanho de amostra deve ser um inteiro e precisamos garantir que o erro seja no máximo 2 minutos, devemos arredondar para cima (usar o teto):
n=110.

Resposta

(a) \sigma \approx 10,66 minutos
(b) n=110 técnicos

Exercícios relacionados