Questão 2: Aplicações em estudos ambientais. Pesquisadores de um grande estudo sobre os impactos ambientais no Cerrado Baiano coletaram dados de vazão de diversos rios. Um dos muitos objetivos da pesquisa foi estimar a vazão média
do Rio Grande durante o período seco e durante o período chuvoso, em um ponto próximo ao município de Barreiras. Para isso, considerou-se uma amostra de medições diárias da vazão para cada período, conforme quadro abaixo (vazão em
):
Medições diárias da vazão durante o período seco (
).
4,1
4,1
1,2
2,5
3,7
3,2
6,1
2,5
4,0
4,6
3,3
4,0
4,2
2,2
3,7
3,7
3,5
4,0
4,2
2,4
3,1
3,8
3,9
3,7
4,3
2,8
4,5
4,2
2,4
2,8
5,1
3,0
1,8
4,0
4,2
2,2
3,7
3,7
3,5
4,0
4,2
2,4
3,1
3,8
4,5
3,3
3,2
4,1
3,9
3,1
3,0
3,2
4,0
4,4
2,1
Medições diárias da vazão durante o período chuvoso (
).
5,5
5,5
3,4
4,6
5,2
5,6
4,4
4,6
6,3
6,9
6,7
6,3
6,9
6,7
3,9
5,4
5,5
5,5
3,4
4,6
5,2
5,5
4,2
6,4
6,1
3,0
4,9
4,4
3,9
5,4
4,3
5,7
4,1
Assumindo que a vazão
do Rio Grande segue o modelo normal com variância populacional desconhecida, responda os itens a seguir.
Item a. (1,0 ponto) Determine e interprete o
para a vazão média
durante o período seco.
Item b. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o
para a vazão média
durante o período chuvoso.
Item c. (1,0 ponto) Faça comentários pertinentes sobre a conclusão que podemos chegar acerca dos intervalos obtidos nos itens anteriores (Máximo 6 linhas).
Item d. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média
de cada período, considerando um erro de estimativa de
? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item e. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média
de cada período, considerando um erro de estimativa de
? As amostras prévias são suficientes? Comente.
| Medições diárias da vazão durante o período seco (
|
||||||||||
| 4,1 | 4,1 | 1,2 | 2,5 | 3,7 | 3,2 | 6,1 | 2,5 | 4,0 | 4,6 | 3,3 |
| 4,0 | 4,2 | 2,2 | 3,7 | 3,7 | 3,5 | 4,0 | 4,2 | 2,4 | 3,1 | 3,8 |
| 3,9 | 3,7 | 4,3 | 2,8 | 4,5 | 4,2 | 2,4 | 2,8 | 5,1 | 3,0 | 1,8 |
| 4,0 | 4,2 | 2,2 | 3,7 | 3,7 | 3,5 | 4,0 | 4,2 | 2,4 | 3,1 | 3,8 |
| 4,5 | 3,3 | 3,2 | 4,1 | 3,9 | 3,1 | 3,0 | 3,2 | 4,0 | 4,4 | 2,1 |
| Medições diárias da vazão durante o período chuvoso (
|
||||||||||
| 5,5 | 5,5 | 3,4 | 4,6 | 5,2 | 5,6 | 4,4 | 4,6 | 6,3 | 6,9 | 6,7 |
| 6,3 | 6,9 | 6,7 | 3,9 | 5,4 | 5,5 | 5,5 | 3,4 | 4,6 | 5,2 | 5,5 |
| 4,2 | 6,4 | 6,1 | 3,0 | 4,9 | 4,4 | 3,9 | 5,4 | 4,3 | 5,7 | 4,1 |
Item a. (1,0 ponto) Determine e interprete o
Item b. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o
Item c. (1,0 ponto) Faça comentários pertinentes sobre a conclusão que podemos chegar acerca dos intervalos obtidos nos itens anteriores (Máximo 6 linhas).
Item d. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média
Item e. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média
Passo 1
O enunciado fornece duas amostras de medições diárias da vazão
(em
) do Rio Grande em dois períodos (os dados estão na tabela que você enviou). As tarefas pedem, assumindo
com
desconhecida: (a) construir o intervalo de confiança de
para
no período seco; (b) construir o intervalo de confiança de
para
no período chuvoso; (c) comentar os intervalos obtidos; (d) calcular o tamanho de amostra necessário para erro de estimação
e avaliar se as amostras atuais são suficientes; (e) mesmo para
.
Informações relevantes extraídas da tabela (eu peguei os valores diretamente da tabela que você enviou):
Informações relevantes extraídas da tabela (eu peguei os valores diretamente da tabela que você enviou):
- Amostra período seco: 55 medições (lista de 55 valores da tabela).
- Amostra período chuvoso: 33 medições (lista de 33 valores da tabela).
As próximas etapas calculam as estatísticas amostrais e intervalos.
Passo 2
Cálculo das estatísticas amostrais para o período seco (explico as fórmulas antes de aplicar): a média amostral mede o centro dos dados e é dada por
onde
é o tamanho da amostra e
são as observações. A variância amostral (estimador imparcial de
) é
e o desvio padrão amostral é
. Agora aplicando aos dados (os somatórios abaixo foram obtidos usando os valores da tabela):
-
. - Soma das observações:
. - Soma dos quadrados:
.
Cálculo da média:
Cálculo da variância amostral usando a identidade
:
logo
Interpretação curta dos parâmetros:
é nossa melhor estimativa pontual para
no período seco;
quantifica a dispersão das medições ao redor da média amostral.
Passo 3
Construção do
para a média no período seco (explicando a teoria antes de aplicar): com variância desconhecida e amostra assumidamente normal, o intervalo de confiança para
é dado por
onde
é o quantil da distribuição
de Student com
graus de liberdade e nível de confiança
. Para
,
e usamos
. Valor crítico aproximado (tabelas de
ou software) é
Cálculo da margem de erro:
Portanto o
é
Passo 4
Cálculo das estatísticas amostrais para o período chuvoso (mesmo detalhe didático que no Passo 2): usando os dados da tabela:
-
. - Soma das observações:
. - Soma dos quadrados:
.
Média amostral:
Variância amostral:
logo
Interpretação:
é a estimativa pontual de
no período chuvoso e
mostra que as observações têm dispersão maior que no período seco.
Passo 5
Construção do
para a média no período chuvoso (mesma fórmula do Passo 3): agora os graus de liberdade são
. O valor crítico é
Margem de erro:
Então o
é
Passo 6
Comentários pertinentes sobre os intervalos (item c), em linguagem simples: os intervalos são
- período seco:
, - período chuvoso:
.
Eles não se sobrepõem (há uma folga considerável entre o limite superior do seco e o limite inferior do chuvoso), o que indica que a vazão média no período chuvoso é substancialmente maior do que no período seco — isto é, comde confiança, as médias são distintas e a diferença é relevante em termos práticos (aprox. de diferença entre as médias pontuais).
Passo 7
Planejamento do tamanho de amostra para erro de estimação
(item d). Método e justificativa: para planejar
antes de coletar (ou avaliar suficiência das amostras atuais) é usual usar a aproximação baseada na distribuição normal (valor
) substituindo
por
obtido em pré-amostras — isso é prático e padrão quando não se pretende iterar usando
. A fórmula aproximada é
onde
é o quantil da normal padrão (para
,
). Agora aplicamos com os
amostrais calculados.
Para o período seco (
,
):
Arredondando para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte), obtemos
. Comparando com a amostra atual
, a amostra atual é suficiente para obter erro máximo
.
Para o período chuvoso (
,
):
Arredondando para cima:
. Como a amostra atual tem
, também é suficiente para
.
Passo 8
Planejamento do tamanho de amostra para erro de estimação
(item e), mesma fórmula e justificativa que no Passo 7.
Para o período seco (
,
):
Arredondando para cima:
. A amostra atual
é insuficiente para atingir erro
.
Para o período chuvoso (
,
):
Arredondando para cima:
. A amostra atual
é insuficiente para erro
.
Resposta
(a)
período seco:
(b) período chuvoso:
(c) Os intervalos não se sobrepõem; com de confiança a vazão média no período chuvoso é significativamente maior que no período seco (diferença pontual das médias ≈
).
(d) Para :
(amostra atual
é suficiente);
(amostra atual
é suficiente).
(e) Para :
(amostra atual
é insuficiente);
(amostra atual
é insuficiente).
(b)
(c) Os intervalos não se sobrepõem; com
(d) Para
(e) Para