Questão 2: Aplicações em estudos ambientais. Pesquisadores de um grande estudo sobre os impactos ambientais no Cerrado Baiano coletaram dados de vazão de diversos rios. Um dos muitos objetivos da pesquisa foi estimar a vazão média \mu do Rio Grande durante o período seco e durante o período chuvoso, em um ponto próximo ao município de Barreiras. Para isso, considerou-se uma amostra de medições diárias da vazão para cada período, conforme quadro abaixo (vazão em m^{3} / s ):
Medições diárias da vazão durante o período seco ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ).
4,1 4,1 1,2 2,5 3,7 3,2 6,1 2,5 4,0 4,6 3,3
4,0 4,2 2,2 3,7 3,7 3,5 4,0 4,2 2,4 3,1 3,8
3,9 3,7 4,3 2,8 4,5 4,2 2,4 2,8 5,1 3,0 1,8
4,0 4,2 2,2 3,7 3,7 3,5 4,0 4,2 2,4 3,1 3,8
4,5 3,3 3,2 4,1 3,9 3,1 3,0 3,2 4,0 4,4 2,1
Medições diárias da vazão durante o período chuvoso ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s} ).
5,5 5,5 3,4 4,6 5,2 5,6 4,4 4,6 6,3 6,9 6,7
6,3 6,9 6,7 3,9 5,4 5,5 5,5 3,4 4,6 5,2 5,5
4,2 6,4 6,1 3,0 4,9 4,4 3,9 5,4 4,3 5,7 4,1
Assumindo que a vazão X do Rio Grande segue o modelo normal com variância populacional desconhecida, responda os itens a seguir.
Item a. (1,0 ponto) Determine e interprete o I C(95 \%) para a vazão média \mu durante o período seco.
Item b. ( 1,0 ponto) Determine e interprete o I C(95 \%) para a vazão média \mu durante o período chuvoso.
Item c. (1,0 ponto) Faça comentários pertinentes sobre a conclusão que podemos chegar acerca dos intervalos obtidos nos itens anteriores (Máximo 6 linhas).
Item d. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média \mu de cada período, considerando um erro de estimativa de e=0,40 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ? As amostras prévias são suficientes? Comente.
Item e. ( 1,0 ponto) Considerando o mesmo nível de confiança, quantas medições deveríamos fazer para estimar a vazão média \mu de cada período, considerando um erro de estimativa de e=0,15 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} ? As amostras prévias são suficientes? Comente.

Passo 1

O enunciado fornece duas amostras de medições diárias da vazão X (em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}) do Rio Grande em dois períodos (os dados estão na tabela que você enviou). As tarefas pedem, assumindo X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2) com \sigma^2 desconhecida: (a) construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu no período seco; (b) construir o intervalo de confiança de 95\% para \mu no período chuvoso; (c) comentar os intervalos obtidos; (d) calcular o tamanho de amostra necessário para erro de estimação e=0{,}40 e avaliar se as amostras atuais são suficientes; (e) mesmo para e=0{,}15.
Informações relevantes extraídas da tabela (eu peguei os valores diretamente da tabela que você enviou):
  • Amostra período seco: 55 medições (lista de 55 valores da tabela).
  • Amostra período chuvoso: 33 medições (lista de 33 valores da tabela).
    As próximas etapas calculam as estatísticas amostrais e intervalos.

Passo 2

Cálculo das estatísticas amostrais para o período seco (explico as fórmulas antes de aplicar): a média amostral mede o centro dos dados e é dada por
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i,
onde n é o tamanho da amostra e X_i são as observações. A variância amostral (estimador imparcial de \sigma^2) é
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2
e o desvio padrão amostral é s=\sqrt{s^2}. Agora aplicando aos dados (os somatórios abaixo foram obtidos usando os valores da tabela):
  • n_{\text{seco}}=55.
  • Soma das observações: \displaystyle\sum X_i=194{,}2.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle\sum X_i^2=726{,}86.
    Cálculo da média:
\bar{X}_{\text{seco}}=\frac{194{,}2}{55}=3{,}531\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Cálculo da variância amostral usando a identidade s^2=\dfrac{\sum X_i^2 - n\bar{X}^2}{n-1}:
s_{\text{seco}}^2=\frac{726{,}86-55\cdot(3{,}531)^2}{54}=0{,}7615,
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s_{\text{seco}}=\sqrt{0{,}7615}=0{,}873\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Interpretação curta dos parâmetros: \bar{X}_{\text{seco}} é nossa melhor estimativa pontual para \mu no período seco; s_{\text{seco}} quantifica a dispersão das medições ao redor da média amostral.

Passo 3

Construção do IC(95\%) para a média no período seco (explicando a teoria antes de aplicar): com variância desconhecida e amostra assumidamente normal, o intervalo de confiança para \mu é dado por
\bar{X}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade e nível de confiança 1-\alpha. Para 95\%, \alpha=0{,}05 e usamos t_{0{,}975,\,54}. Valor crítico aproximado (tabelas de t ou software) é
t_{0{,}975,\,54}\approx 2{,}005.
Cálculo da margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,\,54}\cdot\frac{s_{\text{seco}}}{\sqrt{n_{\text{seco}}}} =2{,}005\cdot\frac{0{,}873}{\sqrt{55}} =2{,}005\cdot 0{,}1177\approx 0{,}236.
Portanto o IC(95\%) é
\big[\,3{,}531-0{,}236,\;3{,}531+0{,}236\,\big]=[\,3{,}295,\;3{,}767\,]\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).

Passo 4

Cálculo das estatísticas amostrais para o período chuvoso (mesmo detalhe didático que no Passo 2): usando os dados da tabela:
  • n_{\text{chuva}}=33.
  • Soma das observações: \displaystyle\sum X_i=170{,}0.
  • Soma dos quadrados: \displaystyle\sum X_i^2=911{,}74.
    Média amostral:
\bar{X}_{\text{chuva}}=\frac{170{,}0}{33}=5{,}152\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Variância amostral:
s_{\text{chuva}}^2=\frac{911{,}74-33\cdot(5{,}152)^2}{32}=1{,}1245,
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s_{\text{chuva}}=\sqrt{1{,}1245}=1{,}060\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
Interpretação: \bar{X}_{\text{chuva}} é a estimativa pontual de \mu no período chuvoso e s_{\text{chuva}} mostra que as observações têm dispersão maior que no período seco.

Passo 5

Construção do IC(95\%) para a média no período chuvoso (mesma fórmula do Passo 3): agora os graus de liberdade são n-1=32. O valor crítico é
t_{0{,}975,\,32}\approx 2{,}037.
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,\,32}\cdot\frac{s_{\text{chuva}}}{\sqrt{n_{\text{chuva}}}} =2{,}037\cdot\frac{1{,}060}{\sqrt{33}} =2{,}037\cdot 0{,}1846\approx 0{,}376.
Então o IC(95\%) é
\big[\,5{,}152-0{,}376,\;5{,}152+0{,}376\,\big]=[\,4{,}776,\;5{,}528\,]\\ (\mathrm{m}^3/\mathrm{s}).

Passo 6

Comentários pertinentes sobre os intervalos (item c), em linguagem simples: os intervalos são
  • período seco: [3{,}295,\;3{,}767],
  • período chuvoso: [4{,}776,\;5{,}528].
    Eles não se sobrepõem (há uma folga considerável entre o limite superior do seco e o limite inferior do chuvoso), o que indica que a vazão média no período chuvoso é substancialmente maior do que no período seco — isto é, com 95\% de confiança, as médias são distintas e a diferença é relevante em termos práticos (aprox. 1{,}6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s} de diferença entre as médias pontuais).

Passo 7

Planejamento do tamanho de amostra para erro de estimação e=0{,}40 (item d). Método e justificativa: para planejar n antes de coletar (ou avaliar suficiência das amostras atuais) é usual usar a aproximação baseada na distribuição normal (valor z) substituindo \sigma por s obtido em pré-amostras — isso é prático e padrão quando não se pretende iterar usando t. A fórmula aproximada é
n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,s}{e}\right)^{2},
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da normal padrão (para 95\%, z_{0{,}975}=1{,}96). Agora aplicamos com os s amostrais calculados.
Para o período seco ( s_{\text{seco}}=0{,}873, e=0{,}40):
n_{\text{seco}} \approx \left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}873}{0{,}40}\right)^2 = \left(\frac{1{,}710}{0{,}40}\right)^2 =(4{,}275)^2\approx 18{,}28.
Arredondando para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte), obtemos n_{\text{seco}}=19. Comparando com a amostra atual n_{\text{seco, atual}}=55, a amostra atual é suficiente para obter erro máximo 0{,}40.
Para o período chuvoso ( s_{\text{chuva}}=1{,}060, e=0{,}40):
n_{\text{chuva}} \approx \left(\frac{1{,}96\cdot 1{,}060}{0{,}40}\right)^2 = \left(\frac{2{,}078}{0{,}40}\right)^2 =(5{,}196)^2\approx 27{,}00.
Arredondando para cima: n_{\text{chuva}}=27. Como a amostra atual tem n_{\text{chuva, atual}}=33, também é suficiente para e=0{,}40.

Passo 8

Planejamento do tamanho de amostra para erro de estimação e=0{,}15 (item e), mesma fórmula e justificativa que no Passo 7.
Para o período seco ( s_{\text{seco}}=0{,}873, e=0{,}15):
n_{\text{seco}} \approx \left(\frac{1{,}96\cdot 0{,}873}{0{,}15}\right)^2 = \left(\frac{1{,}710}{0{,}15}\right)^2 =(11{,}400)^2\approx 129{,}96.
Arredondando para cima: n_{\text{seco}}=130. A amostra atual 55 é insuficiente para atingir erro 0{,}15.
Para o período chuvoso ( s_{\text{chuva}}=1{,}060, e=0{,}15):
n_{\text{chuva}} \approx \left(\frac{1{,}96\cdot 1{,}060}{0{,}15}\right)^2 = \left(\frac{2{,}078}{0{,}15}\right)^2 =(13{,}853)^2\approx 191{,}87.
Arredondando para cima: n_{\text{chuva}}=192. A amostra atual 33 é insuficiente para erro 0{,}15.

Resposta

(a) IC_{95\%} período seco: [\,3{,}295,\;3{,}767\,]\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(b) IC_{95\%} período chuvoso: [\,4{,}776,\;5{,}528\,]\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
(c) Os intervalos não se sobrepõem; com 95\% de confiança a vazão média no período chuvoso é significativamente maior que no período seco (diferença pontual das médias ≈ 1{,}62\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}).
(d) Para e=0{,}40: n_{\text{seco}}=19 (amostra atual 55 é suficiente); n_{\text{chuva}}=27 (amostra atual 33 é suficiente).
(e) Para e=0{,}15: n_{\text{seco}}=130 (amostra atual 55 é insuficiente); n_{\text{chuva}}=192 (amostra atual 33 é insuficiente).

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