4- Sendo
e
, sendo
uniformente distribuída em
. Calcule Rxy e Ryx.
Passo 1
O que o problema pede e quais informações temos.
- Temos
e . - A variável
é uniformemente distribuída em . - Precisamos calcular
e . Aqui vou usar a definição usual de correlação cruzada por lag :
Essas expectativas são em relação à distribuição de
. Nada mais é pedido.
Passo 2
Escrevo o produto dentro da expectativa para
. Defino
e
(só para simplificar a notação). Então
Uso a identidade trigonométrica
portanto
Assim
Passo 3
Calculo as esperanças que aparecem:
e
. Como
é uniforme em
, a variável
também é uniforme em
(o deslocamento
não altera a uniformidade). Logo as expectativas são integrais sobre um período
:
- Para
uso :
pois a integral de
em um período inteiro é zero.
- Para
uso :
pois a integral de
em um período inteiro é zero e a integral de
dá
.
Passo 4
Substituo as esperanças no resultado do Passo 2. Como
e
, obtemos
Lembremos que
, portanto
Passo 5
Agora faço o mesmo para
. Usando as mesmas
e
,
Expando
, logo
Tomo expectativa:
Já sabemos
. Além disso
(mesmo raciocínio que para
). Portanto
Substituindo
,