4- Sendo X(t)=A \cos ((w t)+\Theta) e Y(t)=A \sin ((w t)+\Theta), sendo \Theta uniformente distribuída em (0,2 \pi). Calcule Rxy e Ryx.

Passo 1

O que o problema pede e quais informações temos.
  • Temos X(t)=A\cos\bigl(\omega t+\Theta\bigr) e Y(t)=A\sin\bigl(\omega t+\Theta\bigr).
  • A variável \Theta é uniformemente distribuída em (0,2\pi).
  • Precisamos calcular R_{XY}(\tau) e R_{YX}(\tau). Aqui vou usar a definição usual de correlação cruzada por lag \tau:
R_{XY}(\tau)=\mathbb{E}\bigl[X(t)\,Y(t+\tau)\bigr],
R_{YX}(\tau)=\mathbb{E}\bigl[Y(t)\,X(t+\tau)\bigr].
Essas expectativas são em relação à distribuição de \Theta. Nada mais é pedido.

Passo 2

Escrevo o produto dentro da expectativa para R_{XY}(\tau). Defino \alpha=\omega t+\Theta e \beta=\omega\tau (só para simplificar a notação). Então
X(t)\,Y(t+\tau)=A\cos(\alpha)\cdot A\sin(\alpha+\beta)=A^2\cos(\alpha)\sin(\alpha+\beta).
Uso a identidade trigonométrica
\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta,
portanto
\cos(\alpha)\sin(\alpha+\beta)=\cos\alpha\sin\alpha\cos\beta+\cos^2\alpha\sin\beta.
Assim
R_{XY}(\tau)=A^2\Bigl(\mathbb{E}[\cos\alpha\sin\alpha]\cos\beta+\mathbb{E}[\cos^2\alpha]\sin\beta\Bigr).

Passo 3

Calculo as esperanças que aparecem: \mathbb{E}[\cos\alpha\sin\alpha] e \mathbb{E}[\cos^2\alpha]. Como \Theta é uniforme em (0,2\pi), a variável \alpha=\omega t+\Theta também é uniforme em (0,2\pi) (o deslocamento \omega t não altera a uniformidade). Logo as expectativas são integrais sobre um período 2\pi:
  • Para \mathbb{E}[\cos\alpha\sin\alpha] uso \cos\alpha\sin\alpha=\tfrac{1}{2}\sin(2\alpha):
\mathbb{E}[\cos\alpha\sin\alpha]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos\alpha\sin\alpha\,d\alpha =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\sin(2\alpha)\,d\alpha=0,
pois a integral de \sin(2\alpha) em um período inteiro é zero.
  • Para \mathbb{E}[\cos^2\alpha] uso \cos^2\alpha=\tfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}:
\mathbb{E}[\cos^2\alpha]=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}\,d\alpha=\frac{1}{2},
pois a integral de \cos(2\alpha) em um período inteiro é zero e a integral de 1 2\pi.

Passo 4

Substituo as esperanças no resultado do Passo 2. Como \mathbb{E}[\cos\alpha\sin\alpha]=0 e \mathbb{E}[\cos^2\alpha]=\tfrac{1}{2}, obtemos
R_{XY}(\tau)=A^2\Bigl(0\cdot\cos\beta+\tfrac{1}{2}\sin\beta\Bigr)=\frac{A^2}{2}\sin\beta.
Lembremos que \beta=\omega\tau, portanto
R_{XY}(\tau)=\frac{A^2}{2}\sin(\omega\tau).

Passo 5

Agora faço o mesmo para R_{YX}(\tau)=\mathbb{E}[Y(t)X(t+\tau)]. Usando as mesmas \alpha e \beta,
Y(t)X(t+\tau)=A\sin(\alpha)\cdot A\cos(\alpha+\beta)=A^2\sin\alpha\cos(\alpha+\beta).
Expando \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta, logo
\sin\alpha\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\alpha\cos\beta-\sin^2\alpha\sin\beta.
Tomo expectativa:
R_{YX}(\tau)=A^2\Bigl(\mathbb{E}[\sin\alpha\cos\alpha]\cos\beta-\mathbb{E}[\sin^2\alpha]\sin\beta\Bigr).
Já sabemos \mathbb{E}[\sin\alpha\cos\alpha]=0. Além disso \mathbb{E}[\sin^2\alpha]=\tfrac{1}{2} (mesmo raciocínio que para \cos^2\alpha). Portanto
R_{YX}(\tau)=A^2\Bigl(0\cdot\cos\beta-\tfrac{1}{2}\sin\beta\Bigr)=-\frac{A^2}{2}\sin\beta.
Substituindo \beta=\omega\tau,
R_{YX}(\tau)=-\frac{A^2}{2}\sin(\omega\tau).

Resposta

R_{XY}(\tau)=\dfrac{A^{2}}{2}\sin(\omega\tau)
R_{YX}(\tau)=-\dfrac{A^{2}}{2}\sin(\omega\tau)

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