Questão 3: Aplicações em pesquisas de satisfação. Uma grande empresa construtora, com empreendimentos imobiliários presentes em todo o Brasil, realizou uma pesquisa mercadológica sobre o nível de satisfação de seus clientes quanto ao prazo de entrega das unidades. Sabendo que o intervalo de confiança IC (95%) obtido para a proporção de clientes satisfeitos foi o seguinte:
[0,3665 ; 0,4965] \text { ou }[36,65 \% ; 49,65 \%]
Item a.) ( 1,0 ponto) De acordo com o intervalo de confiança acima, quantos indivíduos foram consultados nessa amostra prévia?
Item b.) (1,0 ponto) Ainda considerando os resultados dessa amostra prévia, quantos clientes deveriam ser entrevistados considerando uma margem de erro de 5,5 \% ? Caso não haja nenhuma amostra ainda, quantos indivíduos devem ser entrevistados assumindo a mesma margem de erro de 5,5 \% ?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (sem resolver ainda):\n
  • Foi informado um intervalo de confiança (IC) de nível 95% para a proporção de clientes satisfeitos: [0,3665 \;;\; 0,4965].\n
  • Perguntas pedidas:
    1. Item a) Quantos indivíduos foram consultados nessa amostra prévia?
    2. Item b) (i) Mantendo o resultado da amostra prévia, quantos clientes deveriam ser entrevistados para obter uma margem de erro de 5{,}5\%? (ii) Caso não haja nenhuma amostra prévia, quantos indivíduos devem ser entrevistados assumindo a mesma margem de erro de 5{,}5\%?\n
  • Observações importantes que vamos usar depois: o IC é para proporção com nível de confiança de 95\%. Não resolvo nada aqui — apenas listo o que temos e o que nos pedem.

Passo 2

Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aula rápida e explicada):\n
Quando temos uma amostra e calculamos a proporção amostral \hat{p}, o IC (simétrico) para a proporção, com nível de confiança 1-\alpha, é dado por
\hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Expliquei cada símbolo:
  • \hat{p} é a proporção observada na amostra (ou seja, número de “sucessos” dividido pelo tamanho da amostra).
  • n é o tamanho da amostra (número de indivíduos consultados).
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para 95\% usamos z_{0{,}025}=1{,}96 (porque 1{,}96 é o valor tal que cerca de 95\% da área está entre -1{,}96 e +1{,}96).
  • A quantidade
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
é a margem de erro (metade do comprimento do intervalo).\n
Regra prática: se conhecemos o IC, podemos obter \hat{p} (pelo ponto médio do intervalo) e E (pela metade do comprimento) e depois isolar n.

Passo 3

Calcular \hat{p} e a margem de erro E a partir do IC dado:\n
  • A estimativa pontual \hat{p} é o ponto médio do intervalo:
\hat{p}=\frac{0{,}3665+0{,}4965}{2}.
Faço a conta passo a passo:
0{,}3665+0{,}4965=0{,}8630,
\hat{p}=\frac{0{,}8630}{2}=0{,}4315.
  • A margem de erro E é a distância do ponto médio até uma das extremidades do intervalo:
E=0{,}4965-\hat{p}=0{,}4965-0{,}4315=0{,}065.
Portanto, a amostra deu \hat{p}=0{,}4315 e E=0{,}065.

Passo 4

Isolar n na fórmula da margem de erro (explicando o passo algébrico):\n
Partimos de
E=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Elevando ambos os lados ao quadrado e isolando n obtemos
n=\frac{z_{\alpha/2}^2\;\hat{p}(1-\hat{p})}{E^2}.
Aqui vou usar z_{\alpha/2}=1{,}96 (para 95\%).

Passo 5

Resolver o item a) — calcular o n da amostra prévia usando os valores encontrados:\n
Substituo os valores conhecidos:
\hat{p}=0{,}4315,\quad 1-\hat{p}=0{,}5685,
\hat{p}(1-\hat{p})=0{,}4315\times 0{,}5685=0{,}24530775\quad(\text{cálculo direto}).á
Calculo z^2:
z^2=1{,}96^2=3{,}8416.
Multiplico z^2 por \hat{p}(1-\hat{p}):
3{,}8416\times 0{,}24530775\approx 0{,}9423742524.
Agora divido por E^2, lembrando E=0{,}065, então E^2=0{,}065^2=0{,}004225:
n=\frac{0{,}9423742524}{0{,}004225}\approx 223{,}05.
Interpretação e arredondamento: o tamanho de amostra é um número inteiro. Como a amostra já foi feita, o n exato deve ser um inteiro próximo ao valor calculado; portanto concluímos que foram consultados n=223 indivíduos (arredondando para o inteiro mais próximo).

Passo 6

Resolver o item b) — primeira parte: quantos clientes deveriam ser entrevistados para margem de erro de 5{,}5\% mantendo \hat{p} da amostra prévia?\n
Agora a nova margem de erro desejada é E'=0{,}055. Usamos a mesma fórmula:
n'=\frac{z^2\;\hat{p}(1-\hat{p})}{E'^2}.
Já temos z^2\;\hat{p}(1-\hat{p})\approx 0{,}9423742524 (mesmo numerador de antes). Calculo E'^2=0{,}055^2=0{,}003025. Então
n'=\frac{0{,}9423742524}{0{,}003025}\approx 311{,}53.
Regra prática para planejamento: para garantir que a margem de erro fique no máximo no valor desejado, sempre arredondamos para cima. Logo precisamos de n'=312 entrevistas.

Passo 7

Resolver o item b) — segunda parte: caso NÃO haja amostra prévia (usar valor conservador para \hat{p}):\n
Se não temos uma estimativa prévia de \hat{p}, a prática conservadora é usar \hat{p}=0{,}5, porque \hat{p}(1-\hat{p}) atinge o máximo em 0{,}5 (dá variância máxima). Assim \hat{p}(1-\hat{p})=0{,}5\times 0{,}5=0{,}25. Aplicando a mesma fórmula com E'=0{,}055:
n_0=\frac{z^2\times 0{,}25}{E'^2}=\frac{3{,}8416\times 0{,}25}{0{,}003025}.
Calculo passo a passo:
3{,}8416\times 0{,}25=0{,}9604,
n_0=\frac{0{,}9604}{0{,}003025}\approx 317{,}49.
Arredondando para cima (para garantir a margem de erro), obtemos n_0=318 indivíduos.

Resposta

a) 223\n
b) Mantendo a amostra prévia: 312\n
b) Sem amostra prévia (situação conservadora, \hat{p}=0{,}5): 318

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