Questão 3: Aplicações em pesquisas de satisfação. Uma grande empresa construtora, com empreendimentos imobiliários presentes em todo o Brasil, realizou uma pesquisa mercadológica sobre o nível de satisfação de seus clientes quanto ao prazo de entrega das unidades. Sabendo que o intervalo de confiança IC (95%) obtido para a proporção de clientes satisfeitos foi o seguinte:
Item a.) ( 1,0 ponto) De acordo com o intervalo de confiança acima, quantos indivíduos foram consultados nessa amostra prévia?
Item b.) (1,0 ponto) Ainda considerando os resultados dessa amostra prévia, quantos clientes deveriam ser entrevistados considerando uma margem de erro de
? Caso não haja nenhuma amostra ainda, quantos indivíduos devem ser entrevistados assumindo a mesma margem de erro de
?
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (sem resolver ainda):\n
- Foi informado um intervalo de confiança (IC) de nível 95% para a proporção de clientes satisfeitos:
\n - Perguntas pedidas:
- Item a) Quantos indivíduos foram consultados nessa amostra prévia?
- Item b) (i) Mantendo o resultado da amostra prévia, quantos clientes deveriam ser entrevistados para obter uma margem de erro de
? (ii) Caso não haja nenhuma amostra prévia, quantos indivíduos devem ser entrevistados assumindo a mesma margem de erro de ?\n
- Observações importantes que vamos usar depois: o IC é para proporção com nível de confiança de
. Não resolvo nada aqui — apenas listo o que temos e o que nos pedem.
Passo 2
Fórmula do intervalo de confiança para proporção (aula rápida e explicada):\n
Quando temos uma amostra e calculamos a proporção amostral , o IC (simétrico) para a proporção, com nível de confiança
, é dado por
Quando temos uma amostra e calculamos a proporção amostral
Expliquei cada símbolo:
-
é a proporção observada na amostra (ou seja, número de “sucessos” dividido pelo tamanho da amostra). -
é o tamanho da amostra (número de indivíduos consultados). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente ao nível de confiança. Para usamos (porque é o valor tal que cerca de da área está entre e ). - A quantidade
é a margem de erro (metade do comprimento do intervalo).\n
Regra prática: se conhecemos o IC, podemos obter (pelo ponto médio do intervalo) e
(pela metade do comprimento) e depois isolar
.
Regra prática: se conhecemos o IC, podemos obter
Passo 3
Calcular
e a margem de erro
a partir do IC dado:\n
- A estimativa pontual
é o ponto médio do intervalo:
Faço a conta passo a passo:
- A margem de erro
é a distância do ponto médio até uma das extremidades do intervalo:
Portanto, a amostra deu
e
.
Passo 4
Isolar
na fórmula da margem de erro (explicando o passo algébrico):\n
Partimos de
Partimos de
Elevando ambos os lados ao quadrado e isolando
obtemos
Aqui vou usar
(para
).
Passo 5
Resolver o item a) — calcular o
da amostra prévia usando os valores encontrados:\n
Substituo os valores conhecidos:
Substituo os valores conhecidos:
Calculo
:
Multiplico
por
:
Agora divido por
, lembrando
, então
:
Interpretação e arredondamento: o tamanho de amostra é um número inteiro. Como a amostra já foi feita, o
exato deve ser um inteiro próximo ao valor calculado; portanto concluímos que foram consultados
indivíduos (arredondando para o inteiro mais próximo).
Passo 6
Resolver o item b) — primeira parte: quantos clientes deveriam ser entrevistados para margem de erro de
mantendo
da amostra prévia?\n
Agora a nova margem de erro desejada é . Usamos a mesma fórmula:
Agora a nova margem de erro desejada é
Já temos
(mesmo numerador de antes). Calculo
. Então
Regra prática para planejamento: para garantir que a margem de erro fique no máximo no valor desejado, sempre arredondamos para cima. Logo precisamos de
entrevistas.
Passo 7
Resolver o item b) — segunda parte: caso NÃO haja amostra prévia (usar valor conservador para
):\n
Se não temos uma estimativa prévia de , a prática conservadora é usar
, porque
atinge o máximo em
(dá variância máxima). Assim
. Aplicando a mesma fórmula com
:
Se não temos uma estimativa prévia de
Calculo passo a passo:
Arredondando para cima (para garantir a margem de erro), obtemos
indivíduos.
Resposta
a)
\n
b) Mantendo a amostra prévia: \n
b) Sem amostra prévia (situação conservadora, ):
b) Mantendo a amostra prévia:
b) Sem amostra prévia (situação conservadora,