Questão 1: Aplicação em estudos demográficos. Suponha que a altura X dos alunos seja uma v.a que segue o modelo normal com variância populacional conhecida \sigma_{X}^{2}=121 \mathrm{~cm}^{2} e que a altura Y das alunas também seja uma v.a que segue o modelo normal com variância populacional conhecida \sigma_{X}^{2}=81 \mathrm{~cm}^{2}. Sabese que foi extraída uma a \cdot a de tamanho m=18 alunos da população X obtendo-se uma média amostral \bar{X}= 174 cm e uma a \cdot a de tamanho n=26 alunas da população Y obtendo-se uma média amostral \bar{Y}=163 \mathrm{~cm}.
Item a. (1,0 ponto) Construa e interprete o IC (95%) para a altura média \mu_{X} dos alunos.
Item b. (1,0 ponto) Construa e interprete o I C(95 \%) para a altura média \mu_{Y} das alunas.
Item c. (1,0 ponto) Encontre a distribuição de probabilidades da diferença amostral ( \bar{X}-\bar{Y} ) para construir interpretar o IC ( 95 \% ) para a diferença populacional ( \mu_{X}-\mu_{Y} ). O que significa na prática quando este intervalo contém o valor numérico zero?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Variância populacional dos alunos: \sigma_X^{2}=121\\ \text{cm}^2. Logo \sigma_X=11\\ \text{cm}.
    • Variância populacional das alunas: \sigma_Y^{2}=81\\ \text{cm}^2. Logo \sigma_Y=9\\ \text{cm}.
    • Amostra de alunos: tamanho m=18 e média amostral \bar{X}=174\\ \text{cm}.
    • Amostra de alunas: tamanho n=26 e média amostral \bar{Y}=163\\ \text{cm}.
    • Nível de confiança pedido: 95\% (logo \alpha=0{,}05 e z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}975}\approx 1{,}96).
  • Perguntas:
    • Item (a): construir e interpretar o intervalo de confiança 95\% para a média populacional \mu_X (alunos).
    • Item (b): construir e interpretar o intervalo de confiança 95\% para a média populacional \mu_Y (alunas).
    • Item (c): achar a distribuição de \bar{X}-\bar{Y} e construir e interpretar o intervalo de confiança 95\% para \mu_X-\mu_Y. Explicar o que significa na prática se esse intervalo contém o valor 0.

Passo 2

Construção do IC 95\% para \mu_X.
  • Fórmula do intervalo quando a variância populacional é conhecida e a amostra é de uma população normal:
\bar{X}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma_X}{\sqrt{m}}.
Expliquei cada termo:
  • \bar{X} é a média amostral (estimador pontual de \mu_X).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da Normal padrão correspondente a confiança (para 95\% é aproximadamente 1{,}96).
  • \sigma_X é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui 11).
  • m é o tamanho da amostra (aqui 18).
  • O termo \frac{\sigma_X}{\sqrt{m}} é o erro padrão (desvio-padrão de \bar{X}).
  • Cálculo do erro padrão: \frac{\sigma_X}{\sqrt{m}}=\frac{11}{\sqrt{18}}.Primeiro \sqrt{18}\approx 4{,}2426, então \frac{11}{\sqrt{18}}\approx 2{,}592.
  • Margem de erro (multiplicando pelo z): 1{,}96\times 2{,}592 \approx 5{,}08.
  • Intervalo: 174 \pm 5{,}08 \Rightarrow \text{IC }95\% \text{ para } \mu_X = [174-5{,}08,\;174+5{,}08]=[168{,}92,\;179{,}08].
  • Interpretação didática e informal:
    • “Ter 95% de confiança” quer dizer: se repetíssemos o procedimento de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo modo a cada vez, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira média \mu_X. Não significa que há 95\% de probabilidade para \mu_X estar neste intervalo (o parâmetro é fixo); a probabilidade refere-se ao procedimento.
    • Aplicação prática: estamos razoavelmente confiantes (nível 95%) de que a altura média dos alunos está entre 168{,}92\\ \text{cm} e 179{,}08\\ \text{cm}.

Passo 3

Construção do IC 95\% para \mu_Y.
  • Usamos a mesma fórmula, trocando as quantidades para a população Y:
\bar{Y}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma_Y}{\sqrt{n}}.
  • Cálculo do erro padrão: \frac{\sigma_Y}{\sqrt{n}}=\frac{9}{\sqrt{26}}.Primeiro \sqrt{26}\approx 5{,}0990, então \frac{9}{\sqrt{26}}\approx 1{,}765.
  • Margem de erro: 1{,}96\times 1{,}765 \approx 3{,}46.
  • Intervalo: 163 \pm 3{,}46 \Rightarrow \text{IC }95\% \text{ para } \mu_Y = [163-3{,}46,\;163+3{,}46]=[159{,}54,\;166{,}46].
  • Interpretação:
    • Com nível de confiança 95\%, a média verdadeira \mu_Y das alunas está, pelo método, estimada entre 159{,}54\\ \text{cm} e 166{,}46\\ \text{cm}.
    • Novamente, a afirmação vale para o procedimento de construção do intervalo: em média 95% dos intervalos assim construídos conteriam \mu_Y.

Passo 4

Distribuição de \bar{X}-\bar{Y} e IC 95\% para \mu_X-\mu_Y.
  • Derivação da distribuição:
    • Se \bar{X}\sim N(\mu_X,\\ \sigma_X^{2}/m) e \bar{Y}\sim N(\mu_Y,\\ \sigma_Y^{2}/n) e as amostras são independentes, então a diferença
    \bar{X}-\bar{Y}\sim N\!\left(\mu_X-\mu_Y,\\ \frac{\sigma_X^{2}}{m}+\frac{\sigma_Y^{2}}{n}\right).
    • Ou seja, a média da diferença é a diferença das médias e a variância da diferença é a soma das variâncias (porque independência).
  • Calcular a variância e o desvio-padrão da diferença: \frac{\sigma_X^{2}}{m}+\frac{\sigma_Y^{2}}{n}=\frac{121}{18}+\frac{81}{26}.Calculemos separadamente: \frac{121}{18}\approx 6{,}72222,\qquad \frac{81}{26}\approx 3{,}11538.Soma: 6{,}72222+3{,}11538\approx 9{,}83760.O desvio-padrão da diferença é \text{SE}_{\bar{X}-\bar{Y}}=\sqrt{9{,}83760}\approx 3{,}136.
  • Ponto estimado da diferença e construção do IC:
    • Observamos \bar{X}-\bar{Y}=174-163=11.
    • Fórmula do IC 95\%:
    (\bar{X}-\bar{Y}) \pm z_{1-\alpha/2}\,\text{SE}_{\bar{X}-\bar{Y}}.
    • Margem de erro:
    1{,}96\times 3{,}136 \approx 6{,}15\\ (\text{arredondando }6{,}147).
    • Intervalo:
    11 \pm 6{,}15 \Rightarrow \text{IC }95\% \text{ para } \mu_X-\mu_Y \approx [11-6{,}15,\;11+6{,}15]=[4{,}85,\;17{,}15].
  • Interpretação prática e significado de conter 0:
    • O intervalo [4{,}85,\;17{,}15] não contém 0. Isso indica que, com nível de significância \alpha=0{,}05, há evidência estatística de que \mu_X-\mu_Y é positiva — ou seja, que a média dos alunos é maior que a das alunas. Na prática: podemos dizer com 95\% de confiança (no sentido do procedimento) que a média dos alunos excede a das alunas por algo entre aproximadamente 4{,}85\\ \text{cm} e 17{,}15\\ \text{cm}.
    • Se o intervalo contivesse 0, significaria que a diferença nula ( \mu_X-\mu_Y=0) seria compatível com os dados ao nível de 95\%. Na prática, não teríamos evidência suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que existe diferença entre as médias; o efeito observado poderia ser compatível com nenhuma diferença real.

Resposta

IC 95\% para \mu_X: [168{,}92,\;179{,}08]
IC 95\% para \mu_Y: [159{,}54,\;166{,}46]
IC 95\% para \mu_X-\mu_Y: [4{,}85,\;17{,}15]

Exercícios relacionados