Questão 1: Aplicação em estudos demográficos. Suponha que a altura
dos alunos seja uma v.a que segue o modelo normal com variância populacional conhecida
e que a altura
das alunas também seja uma v.a que segue o modelo normal com variância populacional conhecida
. Sabese que foi extraída uma
de tamanho
alunos da população
obtendo-se uma média amostral
174 cm e uma
de tamanho
alunas da população
obtendo-se uma média amostral
.
Item a. (1,0 ponto) Construa e interprete o IC (95%) para a altura média
dos alunos.
Item b. (1,0 ponto) Construa e interprete o
para a altura média
das alunas.
Item c. (1,0 ponto) Encontre a distribuição de probabilidades da diferença amostral (
) para construir interpretar o IC (
) para a diferença populacional (
). O que significa na prática quando este intervalo contém o valor numérico zero?
Item b. (1,0 ponto) Construa e interprete o
Item c. (1,0 ponto) Encontre a distribuição de probabilidades da diferença amostral (
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
- Dados fornecidos:
- Variância populacional dos alunos:
. Logo . - Variância populacional das alunas:
. Logo . - Amostra de alunos: tamanho
e média amostral . - Amostra de alunas: tamanho
e média amostral . - Nível de confiança pedido:
(logo e ).
- Variância populacional dos alunos:
- Perguntas:
- Item (a): construir e interpretar o intervalo de confiança
para a média populacional (alunos). - Item (b): construir e interpretar o intervalo de confiança
para a média populacional (alunas). - Item (c): achar a distribuição de
e construir e interpretar o intervalo de confiança para . Explicar o que significa na prática se esse intervalo contém o valor .
- Item (a): construir e interpretar o intervalo de confiança
Passo 2
Construção do IC
para
.
- Fórmula do intervalo quando a variância populacional é conhecida e a amostra é de uma população normal:
Expliquei cada termo:
-
é a média amostral (estimador pontual de ). -
é o quantil da Normal padrão correspondente a confiança (para é aproximadamente ). -
é o desvio-padrão populacional conhecido (aqui ). -
é o tamanho da amostra (aqui ). - O termo
é o erro padrão (desvio-padrão de ). - Cálculo do erro padrão:
Primeiro , então - Margem de erro (multiplicando pelo
): - Intervalo:
- Interpretação didática e informal:
- “Ter 95% de confiança” quer dizer: se repetíssemos o procedimento de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo modo a cada vez, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira média
. Não significa que há de probabilidade para estar neste intervalo (o parâmetro é fixo); a probabilidade refere-se ao procedimento. - Aplicação prática: estamos razoavelmente confiantes (nível 95%) de que a altura média dos alunos está entre
e .
- “Ter 95% de confiança” quer dizer: se repetíssemos o procedimento de amostragem muitas vezes e construíssemos um intervalo do mesmo modo a cada vez, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira média
Passo 3
Construção do IC
para
.
- Usamos a mesma fórmula, trocando as quantidades para a população
:
- Cálculo do erro padrão:
Primeiro , então - Margem de erro:
- Intervalo:
- Interpretação:
- Com nível de confiança
, a média verdadeira das alunas está, pelo método, estimada entre e . - Novamente, a afirmação vale para o procedimento de construção do intervalo: em média 95% dos intervalos assim construídos conteriam
.
- Com nível de confiança
Passo 4
Distribuição de
e IC
para
.
- Derivação da distribuição:
- Se
e e as amostras são independentes, então a diferença
- Ou seja, a média da diferença é a diferença das médias e a variância da diferença é a soma das variâncias (porque independência).
- Se
- Calcular a variância e o desvio-padrão da diferença:
Calculemos separadamente: Soma: O desvio-padrão da diferença é - Ponto estimado da diferença e construção do IC:
- Observamos
. - Fórmula do IC
:
- Margem de erro:
- Intervalo:
- Observamos
- Interpretação prática e significado de conter
: - O intervalo
não contém . Isso indica que, com nível de significância , há evidência estatística de que é positiva — ou seja, que a média dos alunos é maior que a das alunas. Na prática: podemos dizer com de confiança (no sentido do procedimento) que a média dos alunos excede a das alunas por algo entre aproximadamente e . - Se o intervalo contivesse
, significaria que a diferença nula ( ) seria compatível com os dados ao nível de . Na prática, não teríamos evidência suficiente, ao nível de , para afirmar que existe diferença entre as médias; o efeito observado poderia ser compatível com nenhuma diferença real.
- O intervalo
Resposta
IC
para
:
IC para
:
IC para
:
IC
IC