26^2 Questão

Arquimedes foi um dos estudiosos que contribuíram para 0 desenvolvimento do Cálculo das Integrais, hoje usadas para calcular a área e o volume. Com esses conhecimentos de Integração, pode-se afirmar que o volume da região limitada pelas funções: x^2=y-2, 2 y-x-2=0, x=0 e x=1 rotacionado em Ox vale
(a) 3,55 pi u.v.
(b) 3,9 pi u.v.
(c) 3,95 pi u.v.
(d) 4,0 pi u.v.
(e) 4,50 pi u.v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume da região delimitada pelas funções x^2 = y - 2 , 2y - x - 2 = 0 , x = 0 e x = 1 , quando essa região é rotacionada em torno do eixo Ox . Vamos usar o Cálculo das Integrais para resolver isso, mais especificamente, o método dos discos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as funções que delimitam a região:
  1. x^2 = y - 2 y = x^2 + 2 — essa é uma parábola aberta para cima deslocada 2 unidades para cima.
  2. 2y - x - 2 = 0 y = x + 22 — essa é uma reta.
  3. x = 0 e x = 1 — são retas verticais que delimitam o intervalo de x de 0 a 1.

Passo 3

Vamos traçar um rápido esboço para visualizar a região. A parábola y = x^2 + 2 e a reta y = x + 22 se encontram em algum ponto dentro do intervalo de x de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa região quando ela gira em torno do eixo Ox .

Passo 4

Para calcular o volume desse sólido de revolução, vamos usar a fórmula do método dos discos:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 - [g(x)]^2 , dx
Aqui, f(x) é a função de maior altura e g(x) a de menor altura no intervalo considerado.

Passo 5

Primeiro, precisamos identificar qual das funções y = x^2 + 2 ou y = x + 22 está acima dentro do intervalo de x = 0 a x = 1 .
Vamos calcular em x = 0 :
  • y = 0^2 + 2 = 2
  • y = 0 + 22 = 1
Em x = 1 :
  • y = 1^2 + 2 = 3
  • y = 1 + 22 = 1.5
Como em ambos os pontos y = x^2 + 2 está acima de y = x + 22 , nossa função f(x) = x^2 + 2 e g(x) = x + 22 .

Passo 6

Agora, substituindo na fórmula do volume:
V = pi integral0^1 ( (x^2 + 2)^2 - (x + 22)^2 ) dx
Vamos expandir as expressões dentro da integral:
(x^2 + 2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4
(x + 22)^2 = (x + 2)^24 = x^2 + 4x + 44
Subtraindo as duas:
x^4 + 4x^2 + 4 - x^2 + 4x + 44 = x^4 + 4x^2 + 4 - x^24 - x - 1
= x^4 + (4 - 14) x^2 - x + (4 - 1)
= x^4 + 154x^2 - x + 3

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
V = pi integral0^1 ( x^4 + 154x^2 - x + 3 ) dx
= pi [ x^55 + 154 cdot x^33 - x^22 + 3x ]0^1
= pi ( 15 + 1512 - 12 + 3 ) - pi cdot 0
= pi ( 15 + 54 - 12 + 3 )

Passo 8

Vamos calcular os valores numéricos:
15 = 0.2
54 = 1.25
12 = 0.5
Somando:
0.2 + 1.25 - 0.5 + 3 = 3.95
Portanto:
V = pi times 3.95 = 3.95pi , uv

Resposta

A resposta correta é a letra (c) 3,95 pi u.v.

Exercícios relacionados