Questão
Arquimedes foi um dos estudiosos que contribuíram para 0 desenvolvimento do Cálculo das Integrais, hoje usadas para calcular a área e o volume. Com esses conhecimentos de Integração, pode-se afirmar que o volume da região limitada pelas funções:
rotacionado em Ox vale
(a)
u.v.
(b)
u.v.
(c)
u.v.
(d)
u.v.
(e)
u.v.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume da região delimitada pelas funções
,
,
e
, quando essa região é rotacionada em torno do eixo
. Vamos usar o Cálculo das Integrais para resolver isso, mais especificamente, o método dos discos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as funções que delimitam a região:
-
⇒ — essa é uma parábola aberta para cima deslocada 2 unidades para cima. -
⇒ — essa é uma reta. -
e — são retas verticais que delimitam o intervalo de de 0 a 1.
Passo 3
Vamos traçar um rápido esboço para visualizar a região. A parábola
e a reta
se encontram em algum ponto dentro do intervalo de
de 0 a 1. Nosso objetivo é encontrar o volume dessa região quando ela gira em torno do eixo
.
Passo 4
Para calcular o volume desse sólido de revolução, vamos usar a fórmula do método dos discos:
Aqui,
é a função de maior altura e
a de menor altura no intervalo considerado.
Passo 5
Primeiro, precisamos identificar qual das funções
ou
está acima dentro do intervalo de
a
.
Vamos calcular em
:
Em
:
Como em ambos os pontos
está acima de
, nossa função
e
.
Passo 6
Agora, substituindo na fórmula do volume:
Vamos expandir as expressões dentro da integral:
Subtraindo as duas:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Vamos calcular os valores numéricos:
Somando:
Portanto:
Resposta
A resposta correta é a letra (c)
u.v.