Questão 4- Um dos artigos estudados durante a disciplina propõe um modelo de reação de primeira ordem para descrever a diminuição da concentração de oxigênio dissolvido em um processo industrial de desoxidação de aço, utilizando a equação:
\frac{d[0]}{d t}=-k\left([0]-\left[O_{e q}\right]\right)
Com base nessa equação e nos conceitos de cinética, responda:
a) O que representa a constante k nesse tipo de equação e o que significa quando ela tem um valor maior?
b) Considerando que a concentração de oxigênio tende ao valor de equilíbrio \left[O_{e q}\right], o que acontece com a taxa da reação \frac{d[O]}{d t} à medida que o tempo avança? Explique com base na equação.

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo de cinética de primeira ordem para a concentração de oxigênio dissolvido [O] numa desoxidação de aço, dado por
\frac{d[O]}{dt} = -\,k\bigl([O]-[O_{eq}]\bigr).
O conteúdo aqui é cinética química de primeira ordem em relação ao desvio do equilíbrio. Precisamos (a) explicar o que é a constante k e o que implica um valor maior dela, e (b) analisar como a taxa \tfrac{d[O]}{dt} evolui conforme o tempo avança.

Passo 2

Em cinética de primeira ordem, a constante k é o coeficiente que relaciona a velocidade de relaxação ao equilíbrio com o desvio de concentração. Tem dimensão de tempo ^{-1} (por exemplo, \mathrm{s}^{-1}) e mede a rapidez com que o sistema “puxa” [O] em direção a [O_{eq}].
Quando k é maior, a reação ou processo atinge o equilíbrio mais rapidamente, pois a taxa de variação -\,k([O]-[O_{eq}]) fica proporcionalmente maior para o mesmo desvio [O]-[O_{eq}]. Ou seja, maior k → decaimento/exaustão do desvio mais rápido.

Passo 3

Integramos a equação para ver o comportamento de [O](t):
[O](t) = [O_{eq}] + \bigl([O](0)-[O_{eq}]\bigr)\,e^{-k\,t}.
A diferença [O](t)-[O_{eq}] decai exponencialmente como e^{-k\,t}, e a taxa de variação é
\frac{d[O]}{dt} = -\,k\bigl([O](t)-[O_{eq}]\bigr).
À medida que t cresce, o fator e^{-k\,t} tende a zero, logo [O](t)\to [O_{eq}] e o desvio [O](t)-[O_{eq}]\to 0. Daí
\frac{d[O]}{dt} = -\,k\bigl([O](t)-[O_{eq}]\bigr)\to 0.
Em outras palavras, a taxa diminui continuamente e vai a zero quando o equilíbrio é alcançado.

Resposta

a) A constante k é o coeficiente de primeira ordem (dimensão de tempo ^{-1}) que quantifica a velocidade de relaxação da concentração ao equilíbrio. Quanto maior k, mais rápido o sistema retorna a [O_{eq}].
b) Conquanto o tempo avance, [O](t) se aproxima de [O_{eq}] e o desvio [O]-[O_{eq}] tende a zero, fazendo com que \tfrac{d[O]}{dt} também tenda a zero.

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