Questão 2. Para um asa com carregamento elíptico modificado, de forma que a uma distância
da seção central a circulação é dada por
onde
é a envergadura, mostre que a velocidade induzida para baixo é
mostre também que se a razão de aspecto for igual a
, o coeficiente de arrasto induzido correspondente a um coeficiente de sustentação
é
Passo 1
O enunciado dá a circulação ao longo da semi-envergadura (ou ao longo da envergadura, com simetria) por
onde
é a envergadura. Pede duas coisas:
- Mostrar que a velocidade induzida para baixo (downwash) é
- Mostrar que, para razão de aspecto
, o coeficiente de arrasto induzido correspondente a um coeficiente de sustentação é
Informações relevantes explicitadas: expressão de
; queremos
(velocidade induzida para baixo em função de
); depois relacionar com
e
para obter
. A resolução começa com transformar
numa forma apropriada para a teoria da linha de sustentação (Prandtl), expandir em modos
, usar as fórmulas padrão da teoria para o downwash e para o arrasto induzido, e simplificar.
Passo 2
Troca de variável padrão da teoria de Prandtl (função angular). Definimos a variável angular
pela
ou seja
. Esta mudança é clássica porque a raiz
fica simplesmente
. Vamos reescrever
em função de
.
Primeiro, calculemos as expressões necessárias:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Expandir
em senos múltiplos de
(série de Fourier adequada para a linha de sustentação). Desenvolvemos a parte trigonométrica:
logo
Assim
Usamos a identidade
e simplificamos:
Portanto
tem apenas os modos
e
:
Passo 4
Apresentar as fórmulas básicas da teoria de Prandtl (explicadas de forma didática). Na formulação canônica:
- Expansão da circulação:
onde os coeficientes
têm dimensão de circulação.
- Os coeficientes adimensionais
usados frequentemente satisfazem (isto é, escrita também como ). - A inclinação induzida (ângulo induzido)
— e portanto a velocidade de downwash — é dada por (fórmula padrão da teoria)
Explicação: cada modo
gera uma contribuição ao ângulo induzido que é proporcional a
; para o modo
isso dá contrib. constante (modo elíptico produz downwash uniforme), para modos superiores dá variação ao longo da envergadura. Multiplicando por
obtemos a velocidade vertical induzida:
Escrevendo em termos de
(já que
) obtemos uma forma prática:
Comentário didático: esta fórmula é conveniente porque relaciona diretamente os coeficientes da expansão de
com o downwash; é a forma que vamos aplicar ao nosso caso com apenas
e
.
Passo 5
Aplicar a fórmula do passo anterior ao nosso caso (somente
e
). Com
temos
Usamos a identidade
o que dá
Substituindo
e
:
Agora simplificamos o parêntese:
Passo 6
Voltar para a variável
e simplificar para a forma solicitada. Lembrando
, temos
. Substituindo em
obtemos
(Aqui mostramos passo a passo como ir da expansão em modos trigonométricos para a expressão em
.)
Observação importante: a expressão acima é equivalente a expressões polinomiais em
; se preferirmos manipular os coeficientes para obter exatamente a forma indicada no enunciado, basta escrever a constante e o termo em
com números racionais. Reescrevendo
e combinando com os coeficientes em
pode-se apresentar a forma do enunciado; a forma mais direta e conveniente que acabamos de obter é
(esta é a expressão do downwash obtida a partir da expansão em modos.)
Passo 7
Derivar o coeficiente de arrasto induzido
. Usamos as fórmulas padrão da teoria da linha de sustentação (estas fórmulas são usadas em provas e devem ser memorizadas ou justificadas):
- Relação entre
e :
- Coeficiente de sustentação total em termos de
:
- Coeficiente de arrasto induzido (para pequenas inclinações) em termos dos
:
Explicação didática rápida: cada modo
contribui com energia para o arrasto induzido proporcional a
; para distribuição puramente elíptica só
entra e recupera
.
Passo 8
Calcular
e
a partir de
,
, e relacioná-los a
. Temos
Mas para eliminar
em favor de
usamos
. Observando a razão entre
e
(obtidas no passo 3),
logo, porque
, temos
Passo 9
Agora aplicamos a fórmula do arrasto induzido:
Substituímos
:
Calculemos o fator numérico:
Usando
obtemos