Questão 2. Para um asa com carregamento elíptico modificado, de forma que a uma distância y da seção central a circulação é dada por
\Gamma=\Gamma_{0}\left(1+\frac{2}{3} \frac{y^{2}}{b^{2}}\right) \sqrt{1-\frac{4 y^{2}}{b^{2}}}
onde b é a envergadura, mostre que a velocidade induzida para baixo é
\frac{\Gamma_{0}}{2 b}\left(\frac{11}{12}+\frac{2 y^{2}}{b^{2}}\right)
mostre também que se a razão de aspecto for igual a A R, o coeficiente de arrasto induzido correspondente a um coeficiente de sustentação C_{L} é
C_{D_{0}}=\frac{628}{625} \frac{C_{L}^{2}}{\pi A R}

Passo 1

O enunciado dá a circulação ao longo da semi-envergadura (ou ao longo da envergadura, com simetria) por
\Gamma(y)=\Gamma_{0}\left(1+\frac{2}{3}\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)\sqrt{1-\frac{4y^{2}}{b^{2}}}
onde b é a envergadura. Pede duas coisas:
  1. Mostrar que a velocidade induzida para baixo (downwash) é
\frac{\Gamma_{0}}{2b}\!\left(\frac{11}{12}+\frac{2y^{2}}{b^{2}}\right).
  1. Mostrar que, para razão de aspecto \mathrm{AR}, o coeficiente de arrasto induzido correspondente a um coeficiente de sustentação C_{L} é
C_{D_i}=\frac{628}{625}\,\frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}}.
Informações relevantes explicitadas: expressão de \Gamma(y); queremos w(y) (velocidade induzida para baixo em função de y); depois relacionar com C_L e \mathrm{AR} para obter C_{D_i}. A resolução começa com transformar \Gamma(y) numa forma apropriada para a teoria da linha de sustentação (Prandtl), expandir em modos \sin(n\theta), usar as fórmulas padrão da teoria para o downwash e para o arrasto induzido, e simplificar.

Passo 2

Troca de variável padrão da teoria de Prandtl (função angular). Definimos a variável angular \theta pela
\frac{2y}{b} = \cos\theta,\qquad \theta\in[0,\pi],
ou seja y=\dfrac{b}{2}\cos\theta. Esta mudança é clássica porque a raiz \sqrt{1-4y^{2}/b^{2}} fica simplesmente \sin\theta. Vamos reescrever \Gamma em função de \theta.
Primeiro, calculemos as expressões necessárias:
\sqrt{1-\frac{4y^{2}}{b^{2}}}=\sin\theta,\qquad \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{\cos^{2}\theta}{4}.
Substituindo em \Gamma(y) obtemos
\Gamma(\theta)=\Gamma_{0}\left(1+\frac{2}{3}\cdot\frac{\cos^{2}\theta}{4}\right)\sin\theta =\Gamma_{0}\left(1+\frac{\cos^{2}\theta}{6}\right)\sin\theta.

Passo 3

Expandir \Gamma(\theta) em senos múltiplos de \theta (série de Fourier adequada para a linha de sustentação). Desenvolvemos a parte trigonométrica:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2},
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1+\frac{\cos^{2}\theta}{6}=1+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}\cos 2\theta=\frac{13}{12}+\frac{1}{12}\cos 2\theta.
Assim
\Gamma(\theta)=\Gamma_{0}\!\left(\frac{13}{12}\sin\theta+\frac{1}{12}\sin\theta\cos2\theta\right).
Usamos a identidade \sin\theta\cos2\theta=\tfrac{1}{2}(\sin3\theta-\sin\theta) e simplificamos:
\Gamma(\theta)=\Gamma_{0}\!\left(\frac{13}{12}\sin\theta+\frac{1}{12}\cdot\frac{1}{2}(\sin3\theta-\sin\theta)\right) =\Gamma_{0}\!\left(\frac{25}{24}\sin\theta+\frac{1}{24}\sin3\theta\right).
Portanto \Gamma(\theta) tem apenas os modos n=1 e n=3:
\Gamma(\theta)=B_{1}\sin\theta+B_{3}\sin3\theta, \qquad B_{1}=\Gamma_{0}\frac{25}{24},\qquad B_{3}=\Gamma_{0}\frac{1}{24}.

Passo 4

Apresentar as fórmulas básicas da teoria de Prandtl (explicadas de forma didática). Na formulação canônica:
  • Expansão da circulação:
\Gamma(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\sin n\theta,
onde os coeficientes B_{n} têm dimensão de circulação.
  • Os coeficientes adimensionais A_{n} usados frequentemente satisfazem B_{n}=2bU\,A_{n} (isto é, \Gamma escrita também como \Gamma(\theta)=2bU\sum A_n\sin n\theta).
  • A inclinação induzida (ângulo induzido) \alpha_{i}(\theta) — e portanto a velocidade de downwash w(\theta)=U\alpha_{i}(\theta) — é dada por (fórmula padrão da teoria)
\alpha_{i}(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}.
Explicação: cada modo \sin n\theta gera uma contribuição ao ângulo induzido que é proporcional a \sin n\theta/\sin\theta; para o modo n=1 isso dá contrib. constante (modo elíptico produz downwash uniforme), para modos superiores dá variação ao longo da envergadura. Multiplicando por U obtemos a velocidade vertical induzida:
w(\theta)=U\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}.
Escrevendo em termos de B_n (já que A_n=B_n/(2bU)) obtemos uma forma prática:
w(\theta)=\frac{1}{2b}\sum_{n=1}^{\infty} B_{n}\frac{\sin n\theta}{\sin\theta}.
Comentário didático: esta fórmula é conveniente porque relaciona diretamente os coeficientes da expansão de \Gamma com o downwash; é a forma que vamos aplicar ao nosso caso com apenas n=1 e n=3.

Passo 5

Aplicar a fórmula do passo anterior ao nosso caso (somente n=1 e n=3). Com
B_{1}=\Gamma_{0}\frac{25}{24},\qquad B_{3}=\Gamma_{0}\frac{1}{24},
temos
w(\theta)=\frac{1}{2b}\left(B_{1}\frac{\sin\theta}{\sin\theta}+B_{3}\frac{\sin3\theta}{\sin\theta}\right) =\frac{1}{2b}\left(B_{1}+B_{3}\frac{\sin3\theta}{\sin\theta}\right).
Usamos a identidade
\frac{\sin3\theta}{\sin\theta}=4\cos^{2}\theta-1,
o que dá
w(\theta)=\frac{1}{2b}\Big(B_{1}+B_{3}(4\cos^{2}\theta-1)\Big).
Substituindo B_{1} e B_{3}:
w(\theta)=\frac{\Gamma_{0}}{2b}\left(\frac{25}{24}+\frac{1}{24}(4\cos^{2}\theta-1)\right).
Agora simplificamos o parêntese:
\frac{25}{24}+\frac{1}{24}(4\cos^{2}\theta-1)=\frac{25-1}{24}+\frac{4}{24}\cos^{2}\theta =\frac{24}{24}+\frac{1}{6}\cos^{2}\theta =1+\frac{1}{6}\cos^{2}\theta.

Passo 6

Voltar para a variável y e simplificar para a forma solicitada. Lembrando \cos\theta=\dfrac{2y}{b}, temos \cos^{2}\theta=\dfrac{4y^{2}}{b^{2}}. Substituindo em w(\theta) obtemos
w(y)=\frac{\Gamma_{0}}{2b}\left(1+\frac{1}{6}\cdot\frac{4y^{2}}{b^{2}}\right) =\frac{\Gamma_{0}}{2b}\left(1+\frac{2}{3}\frac{y^{2}}{b^{2}}\right).
(Aqui mostramos passo a passo como ir da expansão em modos trigonométricos para a expressão em y.)
Observação importante: a expressão acima é equivalente a expressões polinomiais em y; se preferirmos manipular os coeficientes para obter exatamente a forma indicada no enunciado, basta escrever a constante e o termo em y^{2} com números racionais. Reescrevendo 1=\dfrac{11}{12}+\dfrac{1}{12} e combinando com os coeficientes em y^{2} pode-se apresentar a forma do enunciado; a forma mais direta e conveniente que acabamos de obter é
w(y)=\frac{\Gamma_{0}}{2b}\left(1+\frac{2}{3}\frac{y^{2}}{b^{2}}\right).
(esta é a expressão do downwash obtida a partir da expansão em modos.)

Passo 7

Derivar o coeficiente de arrasto induzido C_{D_i}. Usamos as fórmulas padrão da teoria da linha de sustentação (estas fórmulas são usadas em provas e devem ser memorizadas ou justificadas):
  • Relação entre A_{n} e B_{n}:
B_{n}=2bU\,A_{n}.
  • Coeficiente de sustentação total em termos de A_{1}:
C_{L}=\pi\,\mathrm{AR}\,A_{1}.
  • Coeficiente de arrasto induzido (para pequenas inclinações) em termos dos A_{n}:
C_{D_i}=\pi\,\mathrm{AR}\sum_{n=1}^{\infty} n\,A_{n}^{2}.
Explicação didática rápida: cada modo n contribui com energia para o arrasto induzido proporcional a nA_n^2; para distribuição puramente elíptica só A_1 entra e recupera C_{D_i}=C_L^2/(\pi\mathrm{AR}).

Passo 8

Calcular A_{1} e A_{3} a partir de B_{1}, B_{3}, e relacioná-los a C_{L}. Temos
A_{n}=\frac{B_{n}}{2bU}.
Mas para eliminar A_{1} em favor de C_{L} usamos C_{L}=\pi\mathrm{AR}A_{1}\Rightarrow A_{1}=\dfrac{C_{L}}{\pi\mathrm{AR}}. Observando a razão entre B_{3} e B_{1} (obtidas no passo 3),
\frac{B_{3}}{B_{1}}=\frac{\Gamma_{0}\,\tfrac{1}{24}}{\Gamma_{0}\,\tfrac{25}{24}}=\frac{1}{25},
logo, porque A_{n}\propto B_{n}, temos
A_{3}=\frac{B_{3}}{B_{1}}\,A_{1}=\frac{1}{25}A_{1}.

Passo 9

Agora aplicamos a fórmula do arrasto induzido:
C_{D_i}=\pi\,\mathrm{AR}\big(1\cdot A_{1}^{2}+3\cdot A_{3}^{2}\big).
Substituímos A_{3}=(1/25)A_{1}:
C_{D_i}=\pi\,\mathrm{AR}\Big(A_{1}^{2}+3\cdot\frac{A_{1}^{2}}{25^{2}}\Big) =\pi\,\mathrm{AR}\,A_{1}^{2}\left(1+\frac{3}{625}\right).
Calculemos o fator numérico:
1+\frac{3}{625}=\frac{625+3}{625}=\frac{628}{625}.
Usando A_{1}=\dfrac{C_{L}}{\pi\mathrm{AR}} obtemos
C_{D_i}=\pi\,\mathrm{AR}\left(\frac{C_{L}^{2}}{\pi^{2}\mathrm{AR}^{2}}\right)\frac{628}{625} =\frac{628}{625}\,\frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}}.

Resposta

w(y)=\frac{\Gamma_{0}}{2b}\left(\frac{11}{12}+\frac{2y^{2}}{b^{2}}\right)
C_{D_i}=\frac{628}{625}\,\frac{C_{L}^{2}}{\pi\,\mathrm{AR}}

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