Questão 1. Considere os coeficientes de Fourier para uma circulação dada por
Mostre que para uma distribuição simétrica os coeficientes pares são nulos e para uma distribuição anti-simétrica os coeficientes ímpares são nulos.
Passo 1
O enunciado nos dá a expansão em série de Fourier (apenas termos senoidais) para uma circulação:
Pede-se para mostrar duas propriedades:
- Para uma distribuição simétrica, os coeficientes pares
são nulos. - Para uma distribuição anti-simétrica, os coeficientes ímpares
são nulos.
As informações relevantes: a série acima e as afirmações sobre coeficientes pares/ímpares que devemos provar. Não se resolveu nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e o que foi dado.
Passo 2
Primeiro vamos definir claramente o que entendemos por “simétrica” e “anti-simétrica” aqui (é essencial para não confundir). Vou usar as definições que aparecem naturalmente em problemas com variáveis angulares em torno de um eixo:
- Dizemos que
é simétrica em relação ao eixo se
- Dizemos que
é anti-simétrica em relação ao mesmo eixo se
Essas são as hipóteses de simetria que vou usar para derivar as consequências sobre os coeficientes
. (Se o enunciado entendia outro tipo de simetria, o raciocínio seria análogo trocando a transformação adequada.)
Passo 3
A ideia é substituir
na série e comparar com
. Vamos escrever
usando a série dada:
Precisamos simplificar
. Usamos a identidade de ângulo:
Tomando
e
, obtemos
Agora lembramos duas coisas simples sobre funções trigonométricas em múltiplos de
:
Substituindo isso na identidade, sobra
Passo 4
Usando o resultado do passo anterior, a série para
fica
Agora compare isso com a série original
Se
for simétrica, então
para todo
. Logo
Passo importante (justificativa): as funções
são linearmente independentes (são uma base ortogonal no espaço apropriado), portanto duas combinações lineares dessas funções que coincidem para todo
têm coeficientes iguais termo a termo. Assim, para cada
devemos ter
Passo 5
A condição do passo anterior pode ser rearranjada para
Agora analisamos os dois casos de
:
- Se
é par, , então . Então . Da equação acima segue . Ou seja, todos os coeficientes pares são nulos. - Se
é ímpar, , então . Então e a equação não impõe ; coeficientes ímpares podem ser não nulos.
Portanto, para uma distribuição simétrica (
) concluímos que
Passo 6
Agora tratamos o caso anti-simétrico. Se
é anti-simétrica, temos
. Usando a expressão de
do passo 4,
Novamente, comparando coeficientes termo a termo (pela independência das
), obtemos para cada
Reescrevendo:
Passo 7
Analisamos a expressão do passo anterior por paridade de
:
- Se
é ímpar, , então . Logo , daí . Ou seja, todos os coeficientes ímpares se anulam. - Se
é par, , então e , o que não obriga ; os pares podem ser não nulos.
Logo, para uma distribuição anti-simétrica (
) concluímos que
Passo 8
Pequena intuição e exemplo para fixar: a transformação
reflete o ângulo em torno da linha
. A função
responde a essa reflexão com um fator
. Quando a função total é simétrica, os termos que mudam sinal sob reflexão (que ocorrem quando
, ou seja
par) não podem estar presentes — daí os coeficientes pares nulos. Quando a função é anti-simétrica, os termos que NÃO mudam sinal sob reflexão (quando
, ou seja
ímpar) não podem aparecer — daí os coeficientes ímpares nulos.
Resposta
Para distribuição simétrica:
para todo
.
Para distribuição anti-simétrica: para todo
.
Para distribuição anti-simétrica: