Questão 1. Considere os coeficientes de Fourier para uma circulação dada por
\Gamma=\sum A_{n} \operatorname{sen}(n \theta)
Mostre que para uma distribuição simétrica os coeficientes pares são nulos e para uma distribuição anti-simétrica os coeficientes ímpares são nulos.

Passo 1

O enunciado nos dá a expansão em série de Fourier (apenas termos senoidais) para uma circulação:
\Gamma(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\theta).
Pede-se para mostrar duas propriedades:
  1. Para uma distribuição simétrica, os coeficientes pares A_{2k} são nulos.
  2. Para uma distribuição anti-simétrica, os coeficientes ímpares A_{2k+1} são nulos.
As informações relevantes: a série acima e as afirmações sobre coeficientes pares/ímpares que devemos provar. Não se resolveu nada ainda — apenas identifiquei o que é pedido e o que foi dado.

Passo 2

Primeiro vamos definir claramente o que entendemos por “simétrica” e “anti-simétrica” aqui (é essencial para não confundir). Vou usar as definições que aparecem naturalmente em problemas com variáveis angulares em torno de um eixo:
  • Dizemos que \Gamma é simétrica em relação ao eixo \theta=\tfrac{\pi}{2} se
\Gamma(\pi-\theta)=\Gamma(\theta)\quad\text{para todo }\theta.
  • Dizemos que \Gamma é anti-simétrica em relação ao mesmo eixo se
\Gamma(\pi-\theta)=-\Gamma(\theta)\quad\text{para todo }\theta.
Essas são as hipóteses de simetria que vou usar para derivar as consequências sobre os coeficientes A_n. (Se o enunciado entendia outro tipo de simetria, o raciocínio seria análogo trocando a transformação adequada.)

Passo 3

A ideia é substituir \theta\mapsto\pi-\theta na série e comparar com \Gamma(\theta). Vamos escrever \Gamma(\pi-\theta) usando a série dada:
\Gamma(\pi-\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin\big(n(\pi-\theta)\big).
Precisamos simplificar \sin\big(n(\pi-\theta)\big). Usamos a identidade de ângulo:
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b.
Tomando a=n\pi e b=n\theta, obtemos
\sin\big(n(\pi-\theta)\big)=\sin(n\pi)\cos(n\theta)-\cos(n\pi)\sin(n\theta).
Agora lembramos duas coisas simples sobre funções trigonométricas em múltiplos de \pi:
\sin(n\pi)=0\quad\text{e}\quad \cos(n\pi)=(-1)^n.
Substituindo isso na identidade, sobra
\sin\big(n(\pi-\theta)\big)=-\cos(n\pi)\sin(n\theta)=-(-1)^n\sin(n\theta)=(-1)^{n+1}\sin(n\theta).

Passo 4

Usando o resultado do passo anterior, a série para \Gamma(\pi-\theta) fica
\Gamma(\pi-\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(-1)^{n+1}\sin(n\theta).
Agora compare isso com a série original
\Gamma(\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\theta).
Se \Gamma for simétrica, então \Gamma(\pi-\theta)=\Gamma(\theta) para todo \theta. Logo
\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(-1)^{n+1}\sin(n\theta)=\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\theta).
Passo importante (justificativa): as funções \{\sin(n\theta)\}_{n=1}^\infty são linearmente independentes (são uma base ortogonal no espaço apropriado), portanto duas combinações lineares dessas funções que coincidem para todo \theta têm coeficientes iguais termo a termo. Assim, para cada n devemos ter
A_{n}(-1)^{n+1}=A_{n}.

Passo 5

A condição do passo anterior pode ser rearranjada para
A_{n}\big((-1)^{n+1}-1\big)=0.
Agora analisamos os dois casos de n:
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+1}=-1. Então (-1)^{n+1}-1=-2\neq0. Da equação acima segue A_{2k}=0. Ou seja, todos os coeficientes pares são nulos.
  • Se n é ímpar, n=2k+1, então (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+2}=1. Então (-1)^{n+1}-1=0 e a equação não impõe A_{n}=0; coeficientes ímpares podem ser não nulos.
Portanto, para uma distribuição simétrica ( \Gamma(\pi-\theta)=\Gamma(\theta)) concluímos que
A_{2k}=0\quad\text{para todo }k\ge1.

Passo 6

Agora tratamos o caso anti-simétrico. Se \Gamma é anti-simétrica, temos \Gamma(\pi-\theta)=-\Gamma(\theta). Usando a expressão de \Gamma(\pi-\theta) do passo 4,
\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}(-1)^{n+1}\sin(n\theta) = -\sum_{n=1}^{\infty} A_{n}\sin(n\theta).
Novamente, comparando coeficientes termo a termo (pela independência das \sin(n\theta)), obtemos para cada n
A_{n}(-1)^{n+1}=-A_{n}.
Reescrevendo:
A_{n}\big((-1)^{n+1}+1\big)=0.

Passo 7

Analisamos a expressão do passo anterior por paridade de n:
  • Se n é ímpar, n=2k+1, então (-1)^{n+1}=(-1)^{2k+2}=1. Logo (-1)^{n+1}+1=2\neq0, daí A_{2k+1}=0. Ou seja, todos os coeficientes ímpares se anulam.
  • Se n é par, n=2k, então (-1)^{n+1}=-1 e (-1)^{n+1}+1=0, o que não obriga A_{2k}=0; os pares podem ser não nulos.
Logo, para uma distribuição anti-simétrica ( \Gamma(\pi-\theta)=-\Gamma(\theta)) concluímos que
A_{2k+1}=0\quad\text{para todo }k\ge0.

Passo 8

Pequena intuição e exemplo para fixar: a transformação \theta\mapsto\pi-\theta reflete o ângulo em torno da linha \theta=\tfrac{\pi}{2}. A função \sin(n\theta) responde a essa reflexão com um fator (-1)^{n+1}. Quando a função total é simétrica, os termos que mudam sinal sob reflexão (que ocorrem quando (-1)^{n+1}=-1, ou seja n par) não podem estar presentes — daí os coeficientes pares nulos. Quando a função é anti-simétrica, os termos que NÃO mudam sinal sob reflexão (quando (-1)^{n+1}=1, ou seja n ímpar) não podem aparecer — daí os coeficientes ímpares nulos.

Resposta

Para distribuição simétrica: A_{2k}=0 para todo k\ge1.
Para distribuição anti-simétrica: A_{2k+1}=0 para todo k\ge0.

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