Questão 1. Considere as seguintes afirmações:
I) A série
converge. II)
série
converge. III)
série
diverge.
É correto afirmar que:
a) ( ) Apenas a alternativa II) é verdadeira.
b) ( ) Todas as alternativas são falsas.
c) () Apenas as alternativas I) e II) são verdadeiras.
d) () Apenas a alternativa III) é verdadeira.
I) A série
É correto afirmar que:
a) ( ) Apenas a alternativa II) é verdadeira.
b) ( ) Todas as alternativas são falsas.
c) () Apenas as alternativas I) e II) são verdadeiras.
d) () Apenas a alternativa III) é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre séries e pede para identificar quais são verdadeiras:
I) A série converge.
II) A série converge.
III) A série diverge.
I) A série
II) A série
III) A série
Devemos analisar cada uma dessas séries e decidir, com argumentos, se cada afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Analisando I: reconhecer a forma telescópica. Note que
Quando uma soma tem termos na forma
ela é telescópica: muitos termos se cancelam nas somas parciais. Definindo a soma parcial
, temos
Todos os termos internos cancelam, sobrando
Como
quando
, a soma parcial diverge para
. Logo a série não converge (diverge). Portanto a afirmação I) é falsa.
Comentário didático curto sobre telescópio: uma série telescópica tem termos que se escrevem como
; então
. Exemplo simples:
converge e soma
, porque as parciais dão
.
Passo 3
Analisando II: simplificar o termo geral. Observe que
e
. Então
Portanto a série é
Isto é uma série geométrica com razão
(ou simplesmente uma soma alternada cujos termos não tendem a zero). Um critério básico: para uma série
ser convergente é necessário que
. Aqui
não tende a zero (oscila entre
e
), então a série diverge. Alternativamente, a série geométrica com
não converge. Logo a afirmação II) é falsa.
Dica didática: sempre verifique primeiro se
. Se não tende a zero, a série diverge imediatamente.
Passo 4
Analisando III: escrever como série geométrica. Temos
É conveniente reindexar uma forma padrão de geométrica: note que
é geométrica com primeiro termo
e razão
. Como
, temos
. Para uma série geométrica da forma
a condição de convergência é
e a soma é
. Aqui
, logo a série converge. Portanto a afirmação III) que dizia “diverge” é falsa.
Podemos, se quiser, calcular a soma: escrevendo na forma padrão
com
e
, a soma seria
mas o importante para a decisão de convergência é que
.
Passo 5
Conclusão: I) é falsa (diverge por telescópio), II) é falsa (termos não vão a zero; série alternada com módulo constante), III) é falsa (é geométrica com razão
, portanto converge, logo afirmar que diverge é falso). Assim todas as alternativas I, II e III são falsas.
Resposta
(b)