Questão 1. Considere as seguintes afirmações:
I) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) converge. II) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{2 n}}{(-4)^{n-1}} converge. III) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{n}}{3^{n-1}} diverge.
É correto afirmar que:
a) ( ) Apenas a alternativa II) é verdadeira.
b) ( ) Todas as alternativas são falsas.
c) () Apenas as alternativas I) e II) são verdadeiras.
d) () Apenas a alternativa III) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre séries e pede para identificar quais são verdadeiras:
I) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) converge.
II) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{2 n}}{(-4)^{n-1}} converge.
III) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{n}}{3^{n-1}} diverge.
Devemos analisar cada uma dessas séries e decidir, com argumentos, se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Analisando I: reconhecer a forma telescópica. Note que
\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln\!\left(\frac{n+1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln n.
Quando uma soma tem termos na forma \ln(n+1)-\ln n ela é telescópica: muitos termos se cancelam nas somas parciais. Definindo a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^{N}\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right), temos
S_N=\sum_{n=1}^{N}\big(\ln(n+1)-\ln n\big) = \big(\ln 2-\ln 1\big)+\big(\ln 3-\ln 2\big)+\cdots+\big(\ln(N+1)-\ln N\big).
Todos os termos internos cancelam, sobrando
S_N=\ln(N+1)-\ln 1=\ln(N+1).
Como \ln(N+1)\to+\infty quando N\to\infty, a soma parcial diverge para +\infty. Logo a série não converge (diverge). Portanto a afirmação I) é falsa.
Comentário didático curto sobre telescópio: uma série telescópica tem termos que se escrevem como a_n=b_{n+1}-b_n; então \sum_{n=1}^N a_n=b_{N+1}-b_1. Exemplo simples: \sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) converge e soma 1, porque as parciais dão 1-\frac{1}{N+1}.

Passo 3

Analisando II: simplificar o termo geral. Observe que 2^{2n}=4^n e (-4)^{n-1}=(-1)^{n-1}4^{\,n-1}. Então
\frac{2^{2n}}{(-4)^{n-1}}=\frac{4^n}{(-1)^{n-1}4^{\,n-1}}=4\cdot\frac{4^{\,n-1}}{(-1)^{n-1}4^{\,n-1}}=4\cdot\frac{1}{(-1)^{n-1}}=4(-1)^{n-1}.
Portanto a série é
\sum_{n=1}^{\infty}4(-1)^{n-1}=4\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}.
Isto é uma série geométrica com razão r=-1 (ou simplesmente uma soma alternada cujos termos não tendem a zero). Um critério básico: para uma série \sum a_n ser convergente é necessário que a_n\to 0. Aqui a_n=4(-1)^{n-1} não tende a zero (oscila entre 4 e -4), então a série diverge. Alternativamente, a série geométrica com |r|=1 não converge. Logo a afirmação II) é falsa.
Dica didática: sempre verifique primeiro se a_n\to 0. Se não tende a zero, a série diverge imediatamente.

Passo 4

Analisando III: escrever como série geométrica. Temos
\frac{e^{n}}{3^{n-1}}=\frac{e^{n}}{3^{n}}\cdot 3 = 3\left(\frac{e}{3}\right)^{n}.
É conveniente reindexar uma forma padrão de geométrica: note que \sum_{n=1}^{\infty}3\left(\frac{e}{3}\right)^{n} é geométrica com primeiro termo a_1=3\left(\frac{e}{3}\right)=e e razão r=\frac{e}{3}. Como e\approx 2{,}718, temos \frac{e}{3}<1. Para uma série geométrica da forma \sum a_1 r^{n-1} a condição de convergência é |r|<1 e a soma é a_1/(1-r). Aqui |r|=\frac{e}{3}<1, logo a série converge. Portanto a afirmação III) que dizia “diverge” é falsa.
Podemos, se quiser, calcular a soma: escrevendo na forma padrão \sum_{n=1}^\infty a_1 r^{n-1} com a_1=e e r=\frac{e}{3}, a soma seria
\frac{a_1}{1-r}=\frac{e}{1-\frac{e}{3}}=\frac{3e}{3-e},
mas o importante para a decisão de convergência é que |r|<1.

Passo 5

Conclusão: I) é falsa (diverge por telescópio), II) é falsa (termos não vão a zero; série alternada com módulo constante), III) é falsa (é geométrica com razão e/3<1, portanto converge, logo afirmar que diverge é falso). Assim todas as alternativas I, II e III são falsas.

Resposta

(b)

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