Questāo 2. Considere as seguintes afirmações:
I) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n}} diverge. II) A série \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{n}{3 n+1} converge. III) A série \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)} diverge.
IV) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\ln n} converge.
É correto afirmar que:
a) ( ) Todas as alternativas sāo falsas.
b) ( ) Apenas as alternativas II) e III) são verdadeiras.
c) ( ) Apenas a alternativa III) é verdadeira.
d) ( ) Apenas as alternativas I) e III) são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre séries e pede quais são verdadeiras. Vou listar cada afirmação exatamente como está e as informações relevantes que temos:
I) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n \sqrt[3]{n}} diverge.
II) A série \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{n}{3 n+1} converge.
III) A série \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)} diverge.
IV) A série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{\ln n} converge.
Informações úteis imediatas que vêm do enunciado:
  • Em IV) note que \ln 1 = 0, então o termo para n=1 é indefinido; para aplicar testes clássicos vou assumir que a intenção é começar em n=2 (isso é uma convenção comum quando aparece \ln n numa série).
  • Todas as séries são de termos reais; vou analisar convergência usando testes padrão: série p, teste do termo geral, comparação, e o teste de condensação de Cauchy quando for conveniente.

Passo 2

Analisando I): escrever o termo numa forma mais simples.
O termo geral é
\frac{1}{n \sqrt[3]{n}}=\frac{1}{n\cdot n^{1/3}}=\frac{1}{n^{1+1/3}}=\frac{1}{n^{4/3}}.
Agora uma regra importante (ensino rápido): a série \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{p}} é chamada de série p (p-series) e tem a propriedade: convergência se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{4}{3}. Como \tfrac{4}{3}>1, a série \sum \frac{1}{n^{4/3}} converge. Conclusão: a afirmação I) (que dizia que diverge) é falsa.

Passo 3

Analisando II): considerar o termo geral (sem o sinal alternado):
a_n = (-1)^{n}\frac{n}{3n+1}.
Um teste simples e obrigatório para qualquer série é o teste do termo geral (ou teste da condição necessária): se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0, a série diverge. Vamos calcular a magnitude dos termos:
\frac{n}{3n+1}=\frac{1}{3+\frac{1}{n}}\xrightarrow[n\to\infty]{} \frac{1}{3}.
Portanto os módulos \left|\frac{n}{3n+1}\right| tendem a \tfrac{1}{3}, e assim a_n não tende a zero (os sinais alternam, mas o módulo tende a \tfrac{1}{3}). Como o termo geral não tende a zero, a série não pode convergir. Conclusão: a afirmação II) (que dizia que converge) é falsa.

Passo 4

Analisando III): o termo geral é
b_n=\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)}\quad\text{para }n\ge2.
Vou comparar com a série harmônica \sum \frac{1}{n}, que sabemos que diverge. Observe que, para n\ge2,
\sqrt{n}-1 \le \sqrt{n},
logo
\sqrt{n}(\sqrt{n}-1) \le \sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=n.
Como o denominador de b_n é menor ou igual a n, o termo b_n é maior ou igual a \tfrac{1}{n}:
\frac{1}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)} \ge \frac{1}{n}.
Agora uso o teste de comparação direta: se b_n \ge c_n\ge0 para todo n e \sum c_n diverge, então \sum b_n também diverge. Aqui c_n=\tfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge, logo \sum b_n diverge. Conclusão: a afirmação III) (que diz que diverge) é verdadeira.

Passo 5

Analisando IV): a série considerada (assumindo início em n=2) é
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}.
Vou usar o teste de condensação de Cauchy, que é muito útil para termos decrescentes positivos: se (a_n) é uma sequência positiva e decrescente, então \sum a_n converge se, e somente se, a série condensada \sum_{k=1}^\infty 2^k a_{2^k} converge. Aqui a_n=\tfrac{1}{\ln n} é positiva e, para n suficientemente grande, decrescente (isso basta para aplicar o teste, já que só precisamos da monotonia a partir de algum ponto).
Calcule a série condensada:
2^k a_{2^k}=2^k\cdot\frac{1}{\ln(2^k)}=2^k\cdot\frac{1}{k\ln 2}=\frac{2^k}{k\ln 2}.
A série \sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k\ln 2} diverge porque os termos \frac{2^k}{k\ln 2} não tendem a zero (na verdade crescem exponencialmente em k dividido por k), então a soma não pode convergir (pense: mesmo \sum 2^k diverge, dividir por k não basta para tornar convergente). Pelo teste de condensação, isso implica que a série original \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{\ln n} diverge. Conclusão: a afirmação IV) (que dizia que converge) é falsa.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I) é falsa (a série é \sum 1/n^{4/3}, converge).
  • II) é falsa (o termo geral não tende a zero, diverge).
  • III) é verdadeira (comparação com 1/n).
  • IV) é falsa (teste de condensação mostra divergência).
Portanto apenas a afirmação III) é verdadeira.

Resposta

(c)

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