Considere a curva parametrizada por \left\{\begin{array}{l}x=\ln ^{2} t+1, \\\ y=\ln t,\end{array} \quad t \in[1, e]\right..
(a) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(b) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
(c) Resolva uma delas e encontre o comprimento.

Passo 1

O enunciado define a curva parametrizada
\begin{cases} x = \ln^2 t + 1,\\\ y = \ln t, \end{cases} \quad t\in[1,e].
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curvas: em coordenadas paramétricas usamos
L = \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt
e em coordenadas cartesianas, se y=f(x),
L = \int_{x_0}^{x_1} \sqrt{1 + \bigl(f'(x)\bigr)^2}\,dx.
Vamos formular as duas integrais e depois resolver uma delas.

Passo 2

Calculemos primeiro em paramétricas. Derivamos
x'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\ln^2 t + 1\bigr) = 2\,\ln t\;\frac1t = \frac{2\ln t}{t},
y'(t) = \frac{d}{dt}(\ln t) = \frac1t.
Então a integral do comprimento é
L = \int_{1}^{e} \sqrt{\Bigl(\frac{2\ln t}{t}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac1t\Bigr)^2}\;dt = \int_{1}^{e} \frac{1}{t}\,\sqrt{4(\ln t)^2 + 1}\;dt.

Passo 3

Agora em coordenadas cartesianas: da parametrização temos \ln t = y, logo \ln^2 t = y^2 e
x = y^2 + 1,
com y\in[0,1]. Como y=f(x)=\sqrt{x-1}, temos
f'(x) = \frac{d}{dx}\sqrt{x-1} = \frac1{2\sqrt{x-1}}.
O arco é
L = \int_{x(1)}^{x(e)} \sqrt{1 + \Bigl(\tfrac1{2\sqrt{x-1}}\Bigr)^2}\;dx = \int_{1}^{2} \sqrt{1 + \frac{1}{4(x-1)}}\;dx.

Passo 4

Vamos resolver a integral em parametrização, que é mais direta. Faça a substituição
u = \ln t,\quad du = \frac{dt}{t},\quad t=1\mapsto u=0,\quad t=e\mapsto u=1.
Então
L = \int_{1}^{e} \frac{\sqrt{4(\ln t)^2+1}}{t}\,dt = \int_{0}^{1} \sqrt{4u^2+1}\;du.
Para integrar \displaystyle\int\!\sqrt{4u^2+1}\,du use a fórmula
\int \sqrt{a^2 u^2 + 1}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{a^2u^2+1} + \frac{1}{2a}\ln\bigl(au + \sqrt{a^2u^2+1}\bigr) + C,
aqui com a=2. Logo
\int_{0}^{1}\sqrt{4u^2+1}\,du = \Bigl[\frac{u}{2}\sqrt{4u^2+1} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2u+\sqrt{4u^2+1}\bigr)\Bigr]_{0}^{1}.
Em u=1 \tfrac12\sqrt5 + \tfrac14\ln(2+\sqrt5); em u=0 dá zero.

Resposta

L = \frac{\sqrt5}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

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