Considere a curva parametrizada por
.
(a) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(b) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
(c) Resolva uma delas e encontre o comprimento.
(a) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas paramétricas.
(b) Formule a integral que representa o comprimento da curva em coordenadas cartesianas.
(c) Resolva uma delas e encontre o comprimento.
Passo 1
O enunciado define a curva parametrizada
O conteúdo aqui é comprimento de arco de curvas: em coordenadas paramétricas usamos
e em coordenadas cartesianas, se
,
Vamos formular as duas integrais e depois resolver uma delas.
Passo 2
Calculemos primeiro em paramétricas. Derivamos
Então a integral do comprimento é
Passo 3
Agora em coordenadas cartesianas: da parametrização temos
, logo
e
com
. Como
, temos
O arco é
Passo 4
Vamos resolver a integral em parametrização, que é mais direta. Faça a substituição
Então
Para integrar
use a fórmula
aqui com
. Logo
Em
dá
; em
dá zero.