2- Questão
No átomo de hidrogênios as radiações eletromagnéticas do espectro de emissão de Lyman são aquelas resultantes da transição do elétron de uma órbita (estado estacionário) mais externa (
) para outra mais interna (
) caracterizada pelo número quântico
. No caso dos espectros de emissão de Balmer e de Paschen as órbitas mais internas na transição sâo as de números quánticos
e
, respectivamente. Diante do exposto, calcule os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas de menor energiā) que são emitidas nas transições eletrônicas correspondentes aos espectros de Lyman, Balmer e Paschen.
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas de menor energia emitidas nas transições eletrônicas que definem os espectros de Lyman, Balmer e Paschen no átomo de hidrogênio.
Informações relevantes dadas:
- Para Lyman a órbita mais interna tem número quântico
. - Para Balmer a órbita mais interna tem número quântico
. - Para Paschen a órbita mais interna tem número quântico
. - As transições consideradas são de uma órbita mais externa (denotada
, com ) para a órbita interna .
Passo 2
Entendendo o que significa “radiação de menor energia” (dica prática para a prova)
- Quando um elétron cai de um nível mais alto
para um nível mais baixo ele emite um fóton com energia . - Para um dado nível final
o menor salto de energia ocorre quando o nível inicial é o menor possível acima de , ou seja . Intuição: quanto mais próximos os níveis, menor a diferença de energia. - Portanto, para cada série:
- Lyman (
) a menor energia vem de (transição ). - Balmer (
) a menor energia vem de (transição ). - Paschen (
) a menor energia vem de (transição ).
- Lyman (
Passo 3
Fórmula que vamos usar (Rydberg para comprimento de onda) e significado das constantes
- A fórmula prática para comprimento de onda de uma emissão no átomo de hidrogênio é a fórmula de Rydberg:
onde:
-
é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros); -
é a constante de Rydberg para o hidrogênio, cujo valor numérico é ; -
é o número quântico do nível inicial (inteiro ); -
é o número quântico do nível final. - Essa fórmula vem da diferença de energias dos níveis de Bohr e da relação
. Não é preciso refazer essa derivação na prova se souber usar a fórmula, mas é bom entender que é proporcional à diferença dos inversos dos quadrados dos níveis.
Passo 4
Calcular explicitamente cada caso em forma algébrica (expressões em função de
)
- Lyman:
. Então
logo
- Balmer:
. Então
logo
- Paschen:
. Então
logo
Passo 5
Substituir o valor numérico de
e calcular as respostas em metros e converter para nanômetros
(lembrando que )
(lembrando que
- Para Lyman:
- Para Balmer:
- Para Paschen:
Passo 6
Interpretação rápida (útil para decorar na prova)
- A menor-energia de Lyman dá
na região ultravioleta ( ). - A menor-energia de Balmer dá
na região visível (linha H‑ em ). - A menor-energia de Paschen dá
na região do infravermelho ( ). - Dica de prova: sempre que pedirem “menor energia” para uma série com nível final
, tome .