2- Questão (2,0)

No átomo de hidrogênios as radiações eletromagnéticas do espectro de emissão de Lyman são aquelas resultantes da transição do elétron de uma órbita (estado estacionário) mais externa ( m_{1}>1 ) para outra mais interna ( m_{1} ) caracterizada pelo número quântico n=1. No caso dos espectros de emissão de Balmer e de Paschen as órbitas mais internas na transição sâo as de números quánticos n=2 e n=3, respectivamente. Diante do exposto, calcule os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas de menor energiā) que são emitidas nas transições eletrônicas correspondentes aos espectros de Lyman, Balmer e Paschen.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular os comprimentos de onda das radiações eletromagnéticas de menor energia emitidas nas transições eletrônicas que definem os espectros de Lyman, Balmer e Paschen no átomo de hidrogênio.
Informações relevantes dadas:
  • Para Lyman a órbita mais interna tem número quântico n=1.
  • Para Balmer a órbita mais interna tem número quântico n=2.
  • Para Paschen a órbita mais interna tem número quântico n=3.
  • As transições consideradas são de uma órbita mais externa (denotada m_1, com m_1>n) para a órbita interna n.

Passo 2

Entendendo o que significa “radiação de menor energia” (dica prática para a prova)
  • Quando um elétron cai de um nível mais alto n_i para um nível mais baixo n_f ele emite um fóton com energia \Delta E = E_{n_i}-E_{n_f}.
  • Para um dado nível final n_f o menor salto de energia ocorre quando o nível inicial é o menor possível acima de n_f, ou seja n_i = n_f+1. Intuição: quanto mais próximos os níveis, menor a diferença de energia.
  • Portanto, para cada série:
    • Lyman ( n_f=1) a menor energia vem de n_i=2 (transição 2\to1).
    • Balmer ( n_f=2) a menor energia vem de n_i=3 (transição 3\to2).
    • Paschen ( n_f=3) a menor energia vem de n_i=4 (transição 4\to3).

Passo 3

Fórmula que vamos usar (Rydberg para comprimento de onda) e significado das constantes
  • A fórmula prática para comprimento de onda de uma emissão no átomo de hidrogênio é a fórmula de Rydberg:
\frac{1}{\lambda} = R\!\left(\frac{1}{n_f^{2}}-\frac{1}{n_i^{2}}\right),
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda do fóton emitido (em metros);
  • R é a constante de Rydberg para o hidrogênio, cujo valor numérico é \displaystyle R = 1,0973731568508\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}};
  • n_i é o número quântico do nível inicial (inteiro >n_f);
  • n_f é o número quântico do nível final.
  • Essa fórmula vem da diferença de energias dos níveis de Bohr e da relação E = h c/\lambda. Não é preciso refazer essa derivação na prova se souber usar a fórmula, mas é bom entender que \dfrac{1}{\lambda} é proporcional à diferença dos inversos dos quadrados dos níveis.

Passo 4

Calcular explicitamente cada caso em forma algébrica (expressões em função de R)
  • Lyman: n_f=1,\\ n_i=2. Então
\frac{1}{\lambda_{\text{Lyman}}}=R\!\left(\frac{1}{1^{2}}-\frac{1}{2^{2}}\right)=R\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}R,
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\lambda_{\text{Lyman}}=\frac{4}{3R}.
  • Balmer: n_f=2,\\ n_i=3. Então
\frac{1}{\lambda_{\text{Balmer}}}=R\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)=R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=R\cdot\frac{5}{36},
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\lambda_{\text{Balmer}}=\frac{36}{5R}.
  • Paschen: n_f=3,\\ n_i=4. Então
\frac{1}{\lambda_{\text{Paschen}}}=R\!\left(\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}\right)=R\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{16}\right)=R\cdot\frac{7}{144},
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\lambda_{\text{Paschen}}=\frac{144}{7R}.

Passo 5

Substituir o valor numérico de R e calcular as respostas em metros e converter para nanômetros
(lembrando que 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m})
  • Para Lyman:
\lambda_{\text{Lyman}}=\frac{4}{3R}=\frac{4}{3\cdot 1,0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m} =1,21567\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=121,567\\ \mathrm{nm}.
  • Para Balmer:
\lambda_{\text{Balmer}}=\frac{36}{5R}=\frac{36}{5\cdot 1,0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m} =6,56281\times10^{-7}\\ \mathrm{m}=656,281\\ \mathrm{nm}.
  • Para Paschen:
\lambda_{\text{Paschen}}=\frac{144}{7R}=\frac{144}{7\cdot 1,0973731568508\times10^{7}}\\ \mathrm{m} =1,875106\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=1875,106\\ \mathrm{nm}.

Passo 6

Interpretação rápida (útil para decorar na prova)
  • A menor-energia de Lyman dá \lambda na região ultravioleta ( \approx121,6\\ \mathrm{nm}).
  • A menor-energia de Balmer dá \lambda na região visível (linha H‑ \alpha em \approx656,3\\ \mathrm{nm}).
  • A menor-energia de Paschen dá \lambda na região do infravermelho ( \approx1875,1\\ \mathrm{nm}).
  • Dica de prova: sempre que pedirem “menor energia” para uma série com nível final n, tome n_i=n+1.

Resposta

\lambda_{\text{Lyman}}=121,567\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\text{Balmer}}=656,281\\ \mathrm{nm}
\lambda_{\text{Paschen}}=1875,106\\ \mathrm{nm}

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