Questão 6
Através do uso de fasores, determine as operações com os seguintes sinais:
b) 40 \operatorname{sen}(50 t)+30 \cos \left(50 t-45^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede a soma dos dois sinais harmônicos e nos dá:
  • 40\operatorname{sen}(50t)
  • 30\cos\!\bigl(50t-45^\circ\bigr)
A pergunta implícita é: obter um único sinal equivalente (mesma frequência) que represente a soma desses dois tempos-sincronizados. Ou seja, encontrar amplitude e fase do sinal resultante em função de t.

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): usar fasores — representar cada termo como um número complexo (ou vetor) no plano complexo, somá-los e voltar para o domínio do tempo.
Explicando o conceito de forma simples:
  • Um sinal A\cos(\omega t + \varphi) corresponde ao fasor (ou phasor) A\angle\varphi. Esse fasor é um número complexo A(\cos\varphi + j\sin\varphi).
  • Para somar sinais de mesma frequência \omega, somam-se seus fasores (ou seja, somam-se os vetores complexos).
  • Depois da soma, o fasor resultante R\angle\theta volta ao tempo como R\cos(\omega t + \theta).
Observação prática importante: temos um seno no primeiro termo. Devemos trabalhar com a mesma referência (a convenção mais comum é usar cosseno). A identidade básica é:
\sin x = \cos\!\bigl(x - 90^\circ\bigr).
Portanto vamos reescrever 40\operatorname{sen}(50t) como cosseno com deslocamento de fase.

Passo 3

Converter cada sinal para a forma A\cos(50t+\varphi) e ao respectivo fasor.
  1. Converter 40\operatorname{sen}(50t):
40\operatorname{sen}(50t)=40\cos\!\bigl(50t-90^\circ\bigr).
Logo o fasor é 40\angle -90^\circ.
  1. O segundo termo já está em cosseno:
30\cos\!\bigl(50t-45^\circ\bigr)
tem fasor 30\angle -45^\circ.
Agora somamos os dois fasores: 40\angle -90^\circ + 30\angle -45^\circ.

Passo 4

Passar os fasores para a forma retangular (parte real + j parte imaginária) para somar.
Fasor 1:
40\angle -90^\circ = 40\bigl(\cos(-90^\circ)+j\sin(-90^\circ)\bigr) = 40(0 - j1) = -j40.
Em forma cartesiana: 0 - j40.
Fasor 2:
30\angle -45^\circ = 30\bigl(\cos(-45^\circ)+j\sin(-45^\circ)\bigr).
Como \cos(-45^\circ)=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin(-45^\circ)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos
30\angle -45^\circ = 30\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} - j\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=15\sqrt{2} - j\,15\sqrt{2}.
Em forma cartesiana: \;15\sqrt{2} - j\,15\sqrt{2}.

Passo 5

Somar as componentes retangulares:
Parte real:
\Re\{\,\text{soma}\,\}=0 + 15\sqrt{2}=15\sqrt{2}.
Parte imaginária:
\Im\{\,\text{soma}\,\}=-40 - 15\sqrt{2}=-(40+15\sqrt{2}).
Assim o fasor resultante é
F = 15\sqrt{2} - j\bigl(40+15\sqrt{2}\bigr).
Calcular magnitude R e fase \theta.
Magnitude:
R=\sqrt{\bigl(15\sqrt{2}\bigr)^{2}+\bigl(40+15\sqrt{2}\bigr)^{2}}.
Simplificando:
\bigl(15\sqrt{2}\bigr)^{2}=225\cdot2=450,
\bigl(40+15\sqrt{2}\bigr)^{2}=1600+2\cdot40\cdot15\sqrt{2}+(15\sqrt{2})^{2}=1600+1200\sqrt{2}+450.
Somando:
R=\sqrt{450 + \bigl(1600+1200\sqrt{2}+450\bigr)}=\sqrt{2500+1200\sqrt{2}}.
Valor numérico (aprox.):
R\approx 64{,}78\quad\text{(duas casas decimais)}.
Fase (ângulo) usando a função arco-tangente com sinal correto (usando \operatorname{atan2}):
\theta=\operatorname{atan2}\!\bigl(\Im\{F\},\Re\{F\}\bigr)=\operatorname{atan2}\!\bigl(-(40+15\sqrt{2}),\,15\sqrt{2}\bigr).
Numericamente:
\theta\approx -70{,}96^\circ.
(Interpretação: parte real positiva e parte imaginária negativa → quarto quadrante → ângulo negativo com módulo menor que 90^\circ.)

Passo 6

Voltar ao domínio do tempo. O fasor resultante R\angle\theta corresponde ao sinal
R\cos\!\bigl(50t+\theta\bigr).
Com os valores obtidos:
\text{sinal resultante}\approx 64{,}78\cos\!\bigl(50t-70{,}96^\circ\bigr).
Dica prática para prova: sempre converta senos para cossenos (ou vice‑versa) usando a identidade de deslocamento de fase; passe para retangular para somar, depois calcule magnitude e fase com a fórmula padrão. Esse caminho evita erros e é rápido se você souber calcular cos e sin de ângulos notáveis (aqui foi usado \cos45^\circ=\sin45^\circ=\tfrac{\sqrt{2}}{2}).

Resposta

64,78\cos\!\bigl(50t-70,96^\circ\bigr)

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