Questão 6
Através do uso de fasores, determine as operações com os seguintes sinais:
a) 3 \cos \left(20 t+10^{\circ}\right)-5 \cos \left(20 t-30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede que somemos dois sinais senoidais de mesma frequência usando fasores. Mais precisamente, queremos calcular
3\cos\left(20t+10^\circ\right)-5\cos\left(20t-30^\circ\right).
Informações dadas:
  • Ambas as senóides têm mesma pulsação \omega=20 (portanto podem ser somadas por fasores).
  • Amplitudes e fases são 3 com fase 10^\circ e 5 com fase -30^\circ.
    O que devemos obter: um único sinal da forma \tilde{A}\cos\!\left(20t+\tilde{\varphi}\right) equivalente à soma.

Passo 2

Ideia do método (resumida e intuitiva):
  • Uma cossenoide \cos(\omega t+\varphi) é a parte real do fasor A e^{j(\omega t+\varphi)}. Em notação de fasor, escrevemos o termo \;A\cos(\omega t+\varphi)=\Re\{A\angle\varphi\; e^{j\omega t}\}.
  • Para somar sinais com mesma \omega, somamos os fasores complexos (representados em forma retangular ou polar) e, no final, tomamos a parte real.
    Logo formamos o fasor resultante
\mathcal{F}=3\angle10^\circ - 5\angle(-30^\circ).
O sinal no tempo será \Re\{\mathcal{F}\,e^{j20t}\}=\vert\mathcal{F}\vert\cos\!\left(20t+\arg\mathcal{F}\right).

Passo 3

Converter cada fasor para forma retangular (usando \cos e \sin):
3\angle10^\circ = 3\big(\cos10^\circ + j\sin10^\circ\big), \qquad 5\angle(-30^\circ)=5\big(\cos(-30^\circ)+j\sin(-30^\circ)\big).
Valores usados:
  • \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}866025404 e \sin30^\circ=0{,}5 (valores exatos conhecidos).
  • \cos10^\circ\approx0{,}984807753 e \sin10^\circ\approx0{,}173648178 (valores numéricos aproximados, obtidos com calculadora).
    Calcular componentes:
3\angle10^\circ \approx 3\big(0{,}984807753 + j\,0{,}173648178\big) = 2{,}954423259 + j\,0{,}520944534,
5\angle(-30^\circ)=5\big(0{,}866025404 - j\,0{,}5\big)=4{,}330127020 - j\,2{,}5.

Passo 4

Fasor resultante (retangular) = primeiro menos o segundo:
\mathcal{F} = (2{,}954423259 + j\,0{,}520944534) - (4{,}330127020 - j\,2{,}5).
Fazendo a subtração de parte real e imaginária:
\Re\{\mathcal{F}\} = 2{,}954423259 - 4{,}330127020 = -1{,}375703761,
\Im\{\mathcal{F}\} = 0{,}520944534 - (-2{,}5) = 3{,}020944534.
Portanto
\mathcal{F} \approx -1{,}375703761 + j\,3{,}020944534.

Passo 5

Encontrar a magnitude \vert\mathcal{F}\vert usando a fórmula padrão:
\vert\mathcal{F}\vert = \sqrt{\big(\Re\{\mathcal{F}\}\big)^2 + \big(\Im\{\mathcal{F}\}\big)^2}.
Substituindo os números:
\vert\mathcal{F}\vert \approx \sqrt{(-1{,}375703761)^2 + (3{,}020944534)^2} \approx \sqrt{1{,}89256 + 9{,}12610} \approx \sqrt{11{,}01866} \approx 3{,}320.

Passo 6

Encontrar a fase \arg\mathcal{F}. Usamos a função arco-tangente com cuidado de quadrante:
\arg\mathcal{F} = \operatorname{atan2}\!\big(\Im\{\mathcal{F}\},\,\Re\{\mathcal{F}\}\big).
Aqui \Re\{\mathcal{F}\}<0 e \Im\{\mathcal{F}\}>0, portanto o fasor está no segundo quadrante. Calculamos
\theta_0 = \arctan\!\left(\frac{3{,}020944534}{1{,}375703761}\right)\approx 65{,}507^\circ.
Como o ponto está no segundo quadrante,
\arg\mathcal{F} \approx 180^\circ - 65{,}507^\circ = 114{,}493^\circ.

Passo 7

Escrever o sinal no domínio do tempo a partir do fasor resultante:
3\cos\left(20t+10^\circ\right)-5\cos\left(20t-30^\circ\right) = \vert\mathcal{F}\vert\cos\!\left(20t+\arg\mathcal{F}\right).
Substituindo os valores numéricos obtidos:
\approx 3{,}320\cos\!\left(20t+114{,}49^\circ\right).
(Arredondei a magnitude e a fase para 3 dígitos significativos / duas casas decimais na fase.)

Resposta

3{,}320\cos\!\left(20t+114{,}49^\circ\right)

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