Questão 5
Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais
a) v(t)=21 \cos \left(4 t-15^{\circ}\right) V
b) i(t)=-8 \operatorname{sen}\left(10 t+70^{\circ}\right) n

Passo 1

O enunciado pede: “Determine os fasores correspondentes aos seguintes sinais”. Os sinais dados são:
  • (a) v(t)=21 \cos\!\bigl(4t-15^\circ\bigr)\\ \text{V}.
  • (b) i(t)=-8 \operatorname{sen}\!\bigl(10t+70^\circ\bigr)\\ \text{(unidade de corrente)}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude de v(t): 21 (volts, amplitude pico).
  • Fase de v(t): -15^\circ.
  • Amplitude de i(t): 8 (pico), mas há um sinal negativo na frente do seno.
  • Fase no seno de i(t): +70^\circ.
  • As frequências angulares são \omega_v=4 (rad/s) e \omega_i=10 (rad/s) — úteis só se precisarmos comparar fasores de mesma \omega, aqui vamos apenas obter os fasores individuais.
O que é pedido: transformar cada sinal senoidal no seu fasor correspondente (representação complexa que contém magnitude e fase). Não foi especificado explicitamente se o fasor deve ser dado em amplitude de pico ou em valor eficaz (rms). Vou escolher a convenção usuais em análise de circuitos: apresentar tanto o fasor de pico (amplitude) quanto o fasor em rms, explicando a escolha.

Passo 2

O que é um fasor e como obtê-lo (aula rápida e prática).
  • Um fasor é uma representação complexa (número em forma polar ou retangular) que resume a amplitude e a fase de uma senoide de forma independente do tempo. Ele representa a parte complexa multiplicativa da forma A\cos(\omega t+\varphi) quando se usa representação com cosseno como referência.
  • Regra prática: se
x(t)=X_m\cos(\omega t+\varphi),
então o fasor associado (na convenção “pico”) é
\underline{X}=X_m\angle\varphi.
  • Alternativamente, muitos livros e exercícios de circuito usam o fasor em valor eficaz (rms). Para converter pico (X_m) em rms (X_{\text{rms}}) usa-se
X_{\text{rms}}=\frac{X_m}{\sqrt{2}}.
Assim o fasor em rms é
\underline{X}_{\text{rms}}=\frac{X_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Observação sobre seno: se a sinal for dado por seno, use a identidade
\sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ),
para reescrever como cosseno e então extrair o fasor. Se houver um sinal negativo na frente, isso equivale a um deslocamento de fase de 180^\circ (porque -A\cos(\cdot)=A\cos(\cdot+180^\circ)).

Passo 3

Aplicando a definição ao item (a).
  • Temos v(t)=21\cos\!\bigl(4t-15^\circ\bigr). Aqui V_m=21 e \varphi=-15^\circ.
  • Fasor no domínio de pico:
\underline{V}_{\text{pico}}=21\angle(-15^\circ).
  • Fasor em rms (conversão pico \to rms):
\underline{V}_{\text{rms}}=\frac{21}{\sqrt{2}}\angle(-15^\circ).
  • Calcule a aproximação numérica (sem calculadora: lembrar \sqrt{2}\approx1,414). Então
\frac{21}{\sqrt{2}}\approx\frac{21}{1,414}\approx14,85.
Portanto a forma numérica em rms é aproximadamente 14,85\angle(-15^\circ)\\ \text{V}.

Passo 4

Aplicando a definição ao item (b) — converter seno com sinal negativo.
  • Começamos com i(t)=-8\operatorname{sen}\!\bigl(10t+70^\circ\bigr).
  • Usando \sin(\theta)=\cos(\theta-90^\circ) obtemos:
-8\sin\!\bigl(10t+70^\circ\bigr)=-8\cos\!\bigl(10t+70^\circ-90^\circ\bigr)=-8\cos\!\bigl(10t-20^\circ\bigr).
  • O fator -1 multiplicando o cosseno pode ser convertido em um deslocamento de fase de 180^\circ:
-8\cos\!\bigl(10t-20^\circ\bigr)=8\cos\!\bigl(10t-20^\circ+180^\circ\bigr)=8\cos\!\bigl(10t+160^\circ\bigr).
  • Assim, em forma de cosseno padrão temos amplitude de pico I_m=8 e fase \varphi=160^\circ.
  • Fasor no domínio de pico:
\underline{I}_{\text{pico}}=8\angle160^\circ.
  • Fasor em rms:
\underline{I}_{\text{rms}}=\frac{8}{\sqrt{2}}\angle160^\circ.
  • Aproximação numérica com \sqrt{2}\approx1,414:
\frac{8}{\sqrt{2}}\approx\frac{8}{1,414}\approx5,66.
Portanto a forma numérica em rms é aproximadamente 5,66\angle160^\circ\\ \text{A}.

Passo 5

Por que apresentei pico e rms?
  • Em muitos exercícios de análise de circuitos, os fasores são utilizados em rms porque potências e impedâncias são calculadas com valores rms; por isso é prática comum apresentar o fasor em rms.
  • Entretanto, o procedimento de extração de fase e amplitude é o mesmo; basta dividir a amplitude pico por \sqrt{2} para obter rms. Aqui deixei ambos (pico e rms) para que fique claro e você possa usar a convenção que o seu professor pedir na prova.

Resposta

(a) \underline{V}=21\angle(-15^\circ)\\ \text{V (pico)}=\dfrac{21}{\sqrt{2}}\angle(-15^\circ)\\ \text{V (rms)}\approx14,85\angle(-15^\circ)\\ \text{V}\n
(b) \underline{I}=8\angle160^\circ\\ \text{A (pico)}=\dfrac{8}{\sqrt{2}}\angle160^\circ\\ \text{A (rms)}\approx5,66\angle160^\circ\\ \text{A}

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