Questão 4. Um automóvel percorre uma estrada reta, e sua posição é dada por
(a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
(b) Em que instante a velocidade atinge
?
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?
(b) Em que instante a velocidade atinge
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?
Passo 1
O enunciado dá a posição do automóvel em função do tempo:
com
em metros. As perguntas são:
(a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
(b) Em que instante a velocidade atinge ?
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?
(a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
(b) Em que instante a velocidade atinge
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?
Passo 2
Vamos explicar o que significam “velocidade” e “aceleração” no contexto de funções de posição. A velocidade instantânea
é a taxa de variação da posição em relação ao tempo — ou seja, como
muda quando
muda. Em cálculo de funções polinomiais, essa taxa é obtida tomando a derivada de
em relação a
. A aceleração
é a taxa de variação da velocidade — isto é, a derivada de
, ou a segunda derivada de
.
Regra prática (regra do poder para derivadas): a derivada de
é
. Exemplos simples:
Vou usar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular a velocidade
como derivada de
. Aplicando a regra do poder termo a termo:
Portanto
Passo 4
Calcular a aceleração
como derivada de
(ou segunda derivada de
):
Logo
Observação: a aceleração é constante e igual a
, isto é, a cada segundo a velocidade aumenta
.
Passo 5
Responder (a): velocidade inicial é a velocidade no instante
. Substituindo em
:
A aceleração inicial é
(como a aceleração é constante, vale para qualquer
).
Passo 6
Responder (b): encontrar
tal que
. Partimos da expressão de
:
Subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Passo 7
Responder (c): calcular a posição em
. Usamos
:
Calcule passo a passo:
Somando:
Passo 8
Resumo rápido (para decorar antes da prova): derive
para obter
; derive
para obter
. Para achar quando a velocidade vale um número, resolva a equação
valor pedido. Confia — com polinômios é sempre essa rotina.
Resposta
(a)
;
.
(b) .
(c) .
(b)
(c)