Questão 4. Um automóvel percorre uma estrada reta, e sua posição é dada por
s(t)=100+20 t+3 t^{2}, \quad s \text { em metros. }
(a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
(b) Em que instante a velocidade atinge 50 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?

Passo 1

O enunciado dá a posição do automóvel em função do tempo:
s(t)=100+20 t+3 t^{2},
com s em metros. As perguntas são:
(a) Qual a velocidade inicial e a aceleração?
(b) Em que instante a velocidade atinge 50\\ \mathrm{m/s}?
(c) Qual é a posição do automóvel nesse instante?

Passo 2

Vamos explicar o que significam “velocidade” e “aceleração” no contexto de funções de posição. A velocidade instantânea v(t) é a taxa de variação da posição em relação ao tempo — ou seja, como s muda quando t muda. Em cálculo de funções polinomiais, essa taxa é obtida tomando a derivada de s(t) em relação a t. A aceleração a(t) é a taxa de variação da velocidade — isto é, a derivada de v(t), ou a segunda derivada de s(t).
Regra prática (regra do poder para derivadas): a derivada de t^{n} é n\,t^{n-1}. Exemplos simples:
\text{derivada de }100\text{ é }0,é
\text{derivada de }20t\text{ é }20,é
\text{derivada de }3t^{2}\text{ é }3\cdot 2\,t^{1}=6t.é
Vou usar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular a velocidade v(t) como derivada de s(t). Aplicando a regra do poder termo a termo:
s(t)=100+20t+3t^{2}
v(t)=s'(t)=0+20+6t
Portanto
v(t)=20+6t.

Passo 4

Calcular a aceleração a(t) como derivada de v(t) (ou segunda derivada de s):
v(t)=20+6t
a(t)=v'(t)=0+6
Logo
a(t)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Observação: a aceleração é constante e igual a 6\\ \mathrm{m/s^{2}}, isto é, a cada segundo a velocidade aumenta 6\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Responder (a): velocidade inicial é a velocidade no instante t=0. Substituindo em v(t):
v(0)=20+6\cdot 0=20\\ \mathrm{m/s}.
A aceleração inicial é a(0)=6\\ \mathrm{m/s^{2}} (como a aceleração é constante, vale para qualquer t).

Passo 6

Responder (b): encontrar t tal que v(t)=50\\ \mathrm{m/s}. Partimos da expressão de v(t):
20+6t=50.
Subtraindo 20 dos dois lados:
6t=30.
Dividindo por 6:
t=5\\ \text{s}.

Passo 7

Responder (c): calcular a posição em t=5. Usamos s(t):
s(5)=100+20\cdot 5+3\cdot 5^{2}.
Calcule passo a passo:
20\cdot 5=100,
5^{2}=25,\quad 3\cdot 25=75.
Somando:
s(5)=100+100+75=275\\ \text{m}.

Passo 8

Resumo rápido (para decorar antes da prova): derive s(t) para obter v(t); derive v(t) para obter a(t). Para achar quando a velocidade vale um número, resolva a equação v(t)= valor pedido. Confia — com polinômios é sempre essa rotina.

Resposta

(a) v(0)=20\\ \mathrm{m/s}; a(t)=6\\ \mathrm{m/s^{2}}.
(b) t=5\\ \text{s}.
(c) s(5)=275\\ \mathrm{m}.

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