Questão 2. Um corpo é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial v_{0}=20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A posição é dada por
s(t)=v_{0} t-\frac{1}{2} g t^{2}, \quad g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} .
(a) Encontre as expressões de v(t) e a(t).
(b) Em que instante o corpo atinge a altura máxima?
(c) Qual é a altura máxima atingida?

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo:
s(t)=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2},
com \,v_{0}=20\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\, e \,g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}\,.
As perguntas são:
(a) Encontrar as expressões de \,v(t) e \,a(t).
(b) Determinar o instante em que o corpo atinge a altura máxima.
(c) Calcular a altura máxima atingida.

Passo 2

Conceito e cálculo de \,v(t): a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Em palavras: a velocidade mostra a taxa de variação da posição por unidade de tempo. Se temos uma função s(t), a velocidade é
v(t)=\frac{d}{dt}s(t).
Regra usada: a derivada de \,t é 1 e a derivada de \,t^{2} é 2t. Aplicando a derivada na expressão dada,
v(t)=\frac{d}{dt}\!\left(v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}\right) = v_{0}\cdot 1-\frac{1}{2}g\cdot 2t = v_{0}-gt.
Portanto a expressão geral é \,v(t)=v_{0}-gt. Substituindo v_{0}=20 e g=10 se quiser um número concreto:
v(t)=20-10t\quad(\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Passo 3

Conceito e cálculo de \,a(t): a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo (ou a segunda derivada da posição). Em fórmula:
a(t)=\frac{d}{dt}v(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}s(t).
Derivando \,v(t)=v_{0}-gt obtemos
a(t)=\frac{d}{dt}(v_{0}-gt)= -g.
Como g é constante, a aceleração é constante e igual a -g. Com g=10,
a(t)=-10\quad(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}).
Significado físico: o sinal negativo indica que a aceleração está dirigida para baixo (se tomarmos para cima o sentido positivo).

Passo 4

Quando o corpo atinge a altura máxima, a velocidade vertical passa por zero (mudança de subida para descida). Logo impondo v(t)=0 temos
v_{0}-gt=0.
Isolando t,
t=\frac{v_{0}}{g}.
Substituindo os valores numéricos \,v_{0}=20 e \,g=10,
t=\frac{20}{10}=2\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Cálculo da altura máxima: basta avaliar s(t) no instante t=2\\ \mathrm{s}. Usando a expressão de s(t),
s(2)=v_{0}\cdot 2-\frac{1}{2}g\cdot 2^{2}.
Substituindo os números,
s(2)=20\cdot 2-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 4 =40-20=20.
Portanto a altura máxima é 20\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Checagem alternativa (fórmula conhecida): existe a fórmula direta para altura máxima a partir de v^{2}=v_{0}^{2}-2g(s-s_{0}). Igualando v=0 e s_{0}=0 obtém-se s_{\max}=v_{0}^{2}/(2g). Com v_{0}=20 e g=10:
s_{\max}=\frac{20^{2}}{2\cdot 10}=\frac{400}{20}=20\\ \mathrm{m},
confirmando o cálculo anterior. Força aí — isso dá para fazer direitinho na prova!

Resposta

(a) \;v(t)=v_{0}-gt, \;a(t)=-g.
(b) \;t=2\\ \mathrm{s}.
(c) \;s_{\max}=20\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados