Questāo 1. Avalie os extremos locais e ponto de sela da funçāo abaixo e marque a alternativa correta
(A) O ponto
é ponto de sela e o ponto
é um minimo local.
(B) O ponto
é ponto de sela e o ponto
é um máximo local.
(C) O ponto
é minimo local e o ponto
é um máximo local.
(D) O ponto
é minimo local e o ponto
é um máximo local.
(E) O ponto
é ponto de sela e o ponto
é um máximo local.
(B) O ponto
(C) O ponto
(D) O ponto
(E) O ponto
Passo 1
Temos a função
e queremos achar e classificar os pontos críticos (extremos locais ou ponto de sela). Para isso vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificá-los.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos satisfazem
e
.
Passo 3
Resolva o sistema
Substituindo
em
dá
Para
vem
. Para
vem
.
Logo os pontos críticos são e
.
Logo os pontos críticos são
Passo 4
Calcule as derivadas de segunda ordem para a matriz Hessiana
:
O determinante da Hessiana é
Passo 5
Classificação em
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 6
Classificação em
:
e
. Com
e
temos um máximo local em
.
Resposta
(B)