Questāo 1. Avalie os extremos locais e ponto de sela da funçāo abaixo e marque a alternativa correta
f(x, y)=x^3+3 x y+y^3
(A) O ponto (0,0) é ponto de sela e o ponto (-1,-1) é um minimo local.
(B) O ponto (0,0) é ponto de sela e o ponto (-1,-1) é um máximo local.
(C) O ponto (0,0) é minimo local e o ponto (-1,-1) é um máximo local.
(D) O ponto (0,0) é minimo local e o ponto (-2,-2) é um máximo local.
(E) O ponto (1,1) é ponto de sela e o ponto (-1,-1) é um máximo local.

Passo 1

Temos a função
f(x,y)=x^3+3xy+y^3
e queremos achar e classificar os pontos críticos (extremos locais ou ponto de sela). Para isso vamos usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e depois a matriz Hessiana para classificá-los.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem:
fx = partial fpartial x = 3x^2 +3y,
fy = partial fpartial y = 3x +3y^2
Os pontos críticos satisfazem fx=0 e fy=0.

Passo 3

Resolva o sistema
3x^2 +3y=0 Longrightarrow y=-x^2,
3x +3y^2=0 Longrightarrow x=-y^2
Substituindo x=-y^2 em y=-x^2
y = -(-y^2)^2 = -y^4 ;Longrightarrow; y^4 +y=0 ;Longrightarrow; y(y^3+1)=0 ;Longrightarrow; y=0 ou y=-1
Para y=0 vem x=0. Para y=-1 vem x=-(-1)^2=-1.
Logo os pontos críticos são (0,0) e (-1,-1).

Passo 4

Calcule as derivadas de segunda ordem para a matriz Hessiana H:
fxx=6x, fxy=3, fyy=6y
O determinante da Hessiana é
D = fxxfyy-fxy^2

Passo 5

Classificação em (0,0):
fxx(0,0)=0, fyy(0,0)=0, fxy(0,0)=3 Longrightarrow D(0,0)=0cdot0-3^2=-9<0
Como D<0, (0,0) é ponto de sela.

Passo 6

Classificação em (-1,-1):
fxx(-1,-1)=-6, fyy(-1,-1)=-6, fxy(-1,-1)=3
D(-1,-1)=(-6)(-6)-3^2=36-9=27>0,
e fxx(-1,-1)=-6<0. Com D>0 e fxx<0 temos um máximo local em (-1,-1).

Resposta

(B)

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