Questão 2:

Um avião, partindo do repouso, acelera em uma pista com aceleração constante de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} antes de decolar.
Se a velocidade mínima de decolagem é de 70 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual a distância mínima (em metros) que a pista deve ter? Demonstre o cálculo utilizando a Equação de Torricelli.

Passo 1

O enunciado pede a distância mínima da pista para que um avião, partindo do repouso com aceleração constante de 5\\ \mathrm{m/s^2}, alcance a velocidade mínima de decolagem de 70\\ \mathrm{m/s}.
Informações dadas:
\quad Velocidade inicial: v_0 = 0\\ \mathrm{m/s}.
\quad Aceleração constante: a = 5\\ \mathrm{m/s^2}.
\quad Velocidade final necessária: v = 70\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede: a distância mínima \Delta x (em metros) percorrida sob essa aceleração até atingir v.

Passo 2

Apresento a Equação de Torricelli e explico o que cada símbolo significa. A Equação de Torricelli relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem envolver o tempo:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\,\Delta x.
Aqui:
\quad v é a velocidade final (em \mathrm{m/s}).
\quad v_{0} é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}).
\quad a é a aceleração constante (em \mathrm{m/s^{2}}).
\quad \Delta x é o deslocamento (em \mathrm{m}), isto é, a distância percorrida.
Essa fórmula é muito útil quando não queremos (ou não precisamos) calcular o tempo.

Passo 3

Derivo a Equação de Torricelli a partir das equações básicas do movimento uniformemente acelerado, para você entender de onde ela vem. As duas equações básicas são:
Equação da velocidade:
v = v_{0} + a t,
Equação do deslocamento:
\Delta x = v_{0} t + \tfrac{1}{2} a t^{2}.
Isolamos t na primeira:
t = \frac{v - v_{0}}{a}.
Substituímos esse t na segunda:
\Delta x = v_{0}\left(\frac{v - v_{0}}{a}\right) + \tfrac{1}{2} a \left(\frac{v - v_{0}}{a}\right)^{2}.
Fazendo as contas algébricas e simplificando (multiplicar e somar termos semelhantes) obtemos:
\Delta x = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2a},
que rearranjada fica
v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\,\Delta x,
a famosa Equação de Torricelli. Assim você vê que ela é apenas a eliminação do tempo entre as duas equações do MCUA.

Passo 4

Agora aplico a Equação de Torricelli ao problema. Queremos \Delta x, então isolamos na fórmula:
\Delta x = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2a}.
Substituindo os valores do enunciado ( v = 70\\ \mathrm{m/s}, v_{0}=0\\ \mathrm{m/s}, a = 5\\ \mathrm{m/s^{2}}):
\Delta x = \frac{(70)^{2} - (0)^{2}}{2\cdot 5}.

Passo 5

Faço as contas passo a passo (sem pular nada):
(70)^{2} = 70 \times 70 = 4900.
O denominador:
2\cdot 5 = 10.
Portanto
\Delta x = \frac{4900}{10} = 490.
As unidades: o numerador está em \mathrm{m^{2}/s^{2}} e o denominador em \mathrm{m/s^{2}}, o que resulta em \mathrm{m}, como esperado. Logo \Delta x = 490\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Faço uma checagem alternativa usando o tempo (opcional, só para confirmar): pela equação v = v_{0}+at temos
t = \frac{v-v_{0}}{a} = \frac{70}{5} = 14\\ \mathrm{s}.
Usando \Delta x = v_{0}t + \tfrac{1}{2}at^{2} com v_{0}=0:
\Delta x = \tfrac{1}{2}\cdot 5 \cdot (14)^{2} = 2{,}5 \cdot 196 = 490\\ \mathrm{m},
confirmando o resultado. Bom trabalho — estamos coerentes.

Resposta

490\\ \mathrm{m}

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