5-Questão: Um avião tem, ao se deslocar no ar a 14,7 \mathrm{psi} \mathrm{e} 40^{\circ} \mathrm{F}, uma velocidade de cruzeiro de 700 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. Qual o número de Mach relativo ao avião? Um modelo desse avião, construído na escala de 1:5 deve ser testado em um
túnel de vento a 80^{\circ} \mathrm{F}. Determinar a densidade do ar no túnel de vento de modo que o critério de similaridade baseado nos números de Reynolds e Mach seja satisfeito.
Obs. A velocidade do som num fluido é dada por:
c=\sqrt{\frac{d P}{d \rho}}=\sqrt{\frac{E_{v}}{\rho}}
Ou ainda, no caso de escoamento de gás ideal c=\sqrt{k R T} onde k=\frac{C_{p}}{C_{v}}
“O sucesso é o encontro da oportunidade com a preparação”.
Boa avaliação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: primeiro, determinar o número de Mach de um avião voando a V_{1}=700\\ \mathrm{ft/s} em ar a P_{1}=14,7\\ \mathrm{psi} e T_{1}=40^\circ\mathrm{F}; segundo, para um modelo em escala 1\!:\!5 testado em túnel de vento a T_{2}=80^\circ\mathrm{F}, achar a densidade \rho_{2} de modo a manter iguais o número de Mach e o número de Reynolds entre protótipo e modelo. Vamos usar:
– Velocidade do som c=\sqrt{kRT} para gás ideal ( k=1{,}4, R=1716\\ \mathrm{ft\cdot lb/(slug\cdot°R)}).
– Igualdade de Mach: M_{1}=M_{2}.
– Igualdade de Reynolds: \displaystyle \frac{\rho_{1}V_{1}L_{1}}{\mu_{1}}=\frac{\rho_{2}V_{2}L_{2}}{\mu_{2}}.
– Lei de Sutherland para \mu:
\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} =\Bigl(\frac{T_{2}}{T_{1}}\Bigr)^{3/2}\, \frac{T_{1}+S}{T_{2}+S},
com S=198{,}7^\circ\mathrm{R}.

Passo 2

Converter as temperaturas para Rankine e calcular c_{1} e M_{1}.
T_{1}=40+459{,}67=499{,}67^\circ\mathrm{R}, \quad T_{2}=80+459{,}67=539{,}67^\circ\mathrm{R}.
c_{1} =\sqrt{k\,R\,T_{1}} =\sqrt{1{,}4\cdot1716\cdot499{,}67} \approx1095{,}6\\ \mathrm{ft/s}.
M_{1} =\frac{V_{1}}{c_{1}} =\frac{700}{1095{,}6} \approx0{,}64.

Passo 3

Manter M_{2}=M_{1} no túnel. Como
c_{2}=\sqrt{k\,R\,T_{2}} \approx\sqrt{1{,}4\cdot1716\cdot539{,}67} \approx1138{,}2\\ \mathrm{ft/s},
temos
V_{2} =M_{2}\,c_{2} =0{,}64\times1138{,}2 \approx728\\ \mathrm{ft/s}.

Passo 4

Calcular a razão \mu_{2}/\mu_{1} pela lei de Sutherland:
\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} =\Bigl(\frac{539{,}67}{499{,}67}\Bigr)^{3/2} \frac{499{,}67+198{,}7}{539{,}67+198{,}7} \approx1{,}062.

Passo 5

Determinar \rho_{1} pela equação do gás ideal e depois \rho_{2} pela igualdade de Reynolds.
P_{1}=14{,}7\\ \mathrm{psi}=14{,}7\times144=2116{,}8\\ \mathrm{lb/ft^{2}},
\rho_{1} =\frac{P_{1}}{R\,T_{1}} =\frac{2116{,}8}{1716\cdot499{,}67} \approx0{,}002469\\ \mathrm{slug/ft^{3}}.
Como a escala geométrica é L_{2}=L_{1}/5, a igualdade de Reynolds dá
\rho_{2} =\rho_{1}\, \frac{V_{1}\,L_{1}/\mu_{1}}{V_{2}\,L_{2}/\mu_{2}} =\rho_{1}\, \frac{V_{1}}{V_{2}}\, \frac{L_{1}}{L_{2}}\, \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} =\rho_{1}\; \frac{700}{728}\; 5\; 1{,}062 \approx0{,}0126\\ \mathrm{slug/ft^{3}}.

Resposta

Mach do avião: M\approx0{,}64.
Densidade no túnel de vento: \rho_{2}\approx0{,}0126\\ \mathrm{slug/ft^{3}}.

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