1. Obtenha a distribuição da fração molar do dióxido de carbono que difunde em uma película estagnada de ar seco de 1 cm de profundidade a 1 atm e 25C. Esta pelicula está em um capilar que contem ácido sulfúrico. \mathrm{O} \mathrm{CO}_{2} é absorvido instantaneamente ao atingir o liquido ácido, sendo a concentração do \mathrm{CO}_{2} na boca do capilar igual 2 \% \mathrm{em} moles.
Valor: 5 pontos

Passo 1

O enunciado pede a fração molar de \mathrm{CO_2} ao longo de uma película estacionária de ar seco de espessura L = 1\text{ cm} ( 0{,}01\text{ m}), sujeita a difusão unidimensional e estado estacionário. A 1 atm e 25 °C, o \mathrm{CO_2} é absorvido instantaneamente no líquido, logo na interface (em x=0) temos y_s=0, e na boca do capilar ( x=L) a fração molar é y_b=2\%.
Conteúdo aplicado: transferência de massa por difusão molecular (Lei de Fick) e relação entre concentração e fração molar.

Passo 2

Adotamos as hipóteses clássicas do modelo de película estacionária:
  1. Estado estacionário (fluxo constante no tempo).
  2. Difusão unidimensional, sem convecção no filme.
  3. Coeficiente de difusão D_{AB} constante.
  4. Pressão total P e temperatura constantes, de modo que a concentração total do gás
C_T = \frac{P}{R\,T}
é constante.
Pela primeira lei de Fick temos o fluxo molar de \mathrm{CO_2}:
N_A \;=\;-D_{AB}\,\frac{d C_A}{d x}.
Como C_A = y_A\,C_T e C_T é constante, podemos escrever
N_A \;=\;-D_{AB}\,C_T\,\frac{d y_A}{d x}
e esse N_A será o mesmo em qualquer seção do filme.

Passo 3

Integramos a equação acima sob as condições de contorno
\,y_A(0)=0 e y_A(L)=y_b:
\begin{aligned} N_A &= -D_{AB}\,C_T\,\frac{dy_A}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy_A}{dx} = -\frac{N_A}{D_{AB}\,C_T},\\\ \int_{0}^{y_A(x)} dy_A &= -\frac{N_A}{D_{AB}\,C_T}\,\int_{0}^{x} dz \quad\Longrightarrow\quad y_A(x) = -\frac{N_A}{D_{AB}\,C_T}\,x. \end{aligned}
Em x=L temos y_A(L)=y_b, daí
y_b = -\frac{N_A}{D_{AB}\,C_T}\,L \quad\Longrightarrow\quad N_A = -\,\frac{D_{AB}\,C_T\,y_b}{L}.
Substituindo esse N_A na expressão de y_A(x)
y_A(x) = -\biggl(-\frac{D_{AB}\,C_T\,y_b}{L}\biggr)\,\frac{x}{D_{AB}\,C_T} = y_b\,\frac{x}{L}.

Passo 4

Como y_b = 0{,}02 (fração molar) e L=0{,}01\text{ m}, a distribuição fica
y_{\mathrm{CO_2}}(x) = 0{,}02\,\frac{x}{0{,}01} = 2\,x,
desde que x esteja em metros e 0\le x\le0{,}01. Em unidades de fração molar, mais comum escrever
y_{\mathrm{CO_2}}(x) = 0{,}02\,\frac{x}{0{,}01} \quad(0\le x\le0{,}01\text{ m}).

Resposta

y_{\mathrm{CO_2}}(x) = 0{,}02\,\frac{x}{0{,}01} \quad\text{para }0 \le x \le 0{,}01\text{ m}.

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