Questão 1:
Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem a y^{\prime \prime}(t)+b y^{\prime}(t)+c y(t)=0, onde a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, e o discriminante da equação característica satisfaz \Delta=b^{2}-4 a c>0. Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} a y^{\prime \prime}(t)+b y^{\prime}(t)+c y(t)=0 \\\ y(0)=y_{0} \\\ y^{\prime}(0)=y_{1} \end{array}\right.
Mostre que a solução do problema de valor inicial pode ser escrita na forma y(t)=\frac{y_{1}-r_{2} y_{0}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{1} t}+ \frac{r_{1} y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{2} t}, onde r_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\begin{cases} a\,y''(t)+b\,y'(t)+c\,y(t)=0,\\[4pt] y(0)=y_{0},\\[4pt] y'(0)=y_{1}, \end{cases}
com a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq0 e discriminante \Delta=b^{2}-4ac>0.
O que se pede é encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais, e mostrar que ela pode ser escrita como
y(t)=\frac{y_{1}-r_{2}y_{0}}{r_{1}-r_{2}}e^{r_{1}t}+\frac{r_{1}y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}}e^{r_{2}t},
onde
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.]

Passo 2

Proponha uma solução da forma exponencial y(t)=e^{rt} (aqui r é uma constante a determinar). Essa escolha é natural porque derivadas de e^{rt} produzem fatores r que tornam a equação reduzida a um polinômio em r. Substituindo \,y(t)=e^{rt}\, em \,a y''+b y'+c y=0 obtemos
a(r^{2}e^{rt})+b(re^{rt})+c(e^{rt})=0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica
a r^{2}+b r+c=0.

Passo 3

Resolva a equação quadrática a r^{2}+b r+c=0 usando a fórmula de Bhaskara. Os dois raízes são
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como o enunciado afirma \Delta=b^{2}-4ac>0, as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas ( r_{1}\neq r_{2}). Para equações lineares homogêneas de segunda ordem, duas soluções independentes são e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t}, portanto a solução geral é uma combinação linear:
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Observação rápida: a independência linear decorre do fato de que r_{1}\neq r_{2}; o Wronskiano é proporcional a e^{(r_{1}+r_{2})t}(r_{1}-r_{2})\neq0.)

Passo 4

Aplique a condição inicial y(0)=y_{0}. Substituindo t=0 em y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t} obtém-se
C_{1}+C_{2}=y_{0}.
Essa é a primeira equação linear que relaciona C_{1} e C_{2}.

Passo 5

Calcule a derivada y'(t). Derivando a solução geral,
y'(t)=C_{1}r_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}t}.
Agora aplique t=0 e a condição inicial y'(0)=y_{1}:
C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=y_{1}.
Agora temos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=y_{0},\\[4pt] C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=y_{1}. \end{cases}]

Passo 6

Resolva o sistema para C_{1} e C_{2}. Uma maneira direta é eliminar C_{2}. Multiplique a primeira equação por r_{2}:
C_{1}r_{2}+C_{2}r_{2}=r_{2}y_{0}.
Subtraia essa equação da segunda equação C_{1}r_{1}+C_{2}r_{2}=y_{1}. O termo com C_{2}r_{2} cancela, sobrando
C_{1}(r_{1}-r_{2})=y_{1}-r_{2}y_{0}.
Como r_{1}\neq r_{2}, divide-se por r_{1}-r_{2} e obtém-se
C_{1}=\frac{y_{1}-r_{2}y_{0}}{r_{1}-r_{2}}.
Para C_{2} use C_{2}=y_{0}-C_{1}:
C_{2}=y_{0}-\frac{y_{1}-r_{2}y_{0}}{r_{1}-r_{2}} =\frac{(r_{1}-r_{2})y_{0}-(y_{1}-r_{2}y_{0})}{r_{1}-r_{2}} =\frac{r_{1}y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}}.
Assim obtemos expressões explícitas para as constantes em termos de y_{0},y_{1},r_{1},r_{2}.

Passo 7

Substitua C_{1} e C_{2} na solução geral para escrever a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=\frac{y_{1}-r_{2}y_{0}}{r_{1}-r_{2}}\,e^{r_{1}t}+\frac{r_{1}y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}}\,e^{r_{2}t}.
Esse é exatamente o formato pedido. Note que a divisão por r_{1}-r_{2} é válida porque \Delta>0 garante r_{1}\neq r_{2}, e a solução é única por teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial lineares.

Resposta

y(t)=\frac{y_{1}-r_{2}y_{0}}{r_{1}-r_{2}}e^{r_{1}t}+\frac{r_{1}y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}}e^{r_{2}t}

Exercícios relacionados