Questão 1:
Considere a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem a y^{\prime \prime}(t)+b y^{\prime}(t)+c y(t)=0, onde a, b, c \in \mathbb{R}, a \neq 0, e o discriminante da equação característica satisfaz \Delta=b^{2}-4 a c>0. Resolva o problema de valor inicial
Mostre que a solução do problema de valor inicial pode ser escrita na forma y(t)=\frac{y_{1}-r_{2} y_{0}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{1} t}+ \frac{r_{1} y_{0}-y_{1}}{r_{1}-r_{2}} e^{r_{2} t}, onde r_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}.
com a,b,c\in\mathbb{R}, a\neq0 e discriminante \Delta=b^{2}-4ac>0.
O que se pede é encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais, e mostrar que ela pode ser escrita como
Proponha uma solução da forma exponencial y(t)=e^{rt} (aqui r é uma constante a determinar). Essa escolha é natural porque derivadas de e^{rt} produzem fatores r que tornam a equação reduzida a um polinômio em r. Substituindo \,y(t)=e^{rt}\, em \,a y''+b y'+c y=0 obtemos
a(r^{2}e^{rt})+b(re^{rt})+c(e^{rt})=0.
Como e^{rt}\neq0 para todo t, podemos dividir por e^{rt} e obter a equação característica
a r^{2}+b r+c=0.
Passo 3
Resolva a equação quadrática a r^{2}+b r+c=0 usando a fórmula de Bhaskara. Os dois raízes são
r_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Como o enunciado afirma \Delta=b^{2}-4ac>0, as raízes r_{1} e r_{2} são reais e distintas (r_{1}\neq r_{2}). Para equações lineares homogêneas de segunda ordem, duas soluções independentes são e^{r_{1}t} e e^{r_{2}t}, portanto a solução geral é uma combinação linear:
y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Observação rápida: a independência linear decorre do fato de que r_{1}\neq r_{2}; o Wronskiano é proporcional a e^{(r_{1}+r_{2})t}(r_{1}-r_{2})\neq0.)
Passo 4
Aplique a condição inicial y(0)=y_{0}. Substituindo t=0 em y(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t} obtém-se
C_{1}+C_{2}=y_{0}.
Essa é a primeira equação linear que relaciona C_{1} e C_{2}.
Passo 5
Calcule a derivada y'(t). Derivando a solução geral,
y'(t)=C_{1}r_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}r_{2}e^{r_{2}t}.
Agora aplique t=0 e a condição inicial y'(0)=y_{1}:
Esse é exatamente o formato pedido. Note que a divisão por r_{1}-r_{2} é válida porque \Delta>0 garante r_{1}\neq r_{2}, e a solução é única por teorema de existência e unicidade para problemas de valor inicial lineares.