Questão 2 Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e \operatorname{det}\left(3 A^{-1}\right)=\frac{3}{2}, \operatorname{determine} \operatorname{det}\left(\frac{1}{2} A\right)^{-1}.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem 3 e que
\det\bigl(3A^{-1}\bigr)=\frac{3}{2}.
Pede-se para determinar
\det\bigl((\tfrac12 A)^{-1}\bigr).
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais de determinantes:
  1. \det(kM)=k^n\det(M) quando M é n\times n.
  2. \det(M^{-1})=1/\det(M).

Passo 2

Aplicando \det(kM) a 3A^{-1} (aqui n=3), temos
\det\bigl(3A^{-1}\bigr) =3^3\det(A^{-1}) =27\cdot\frac{1}{\det(A)} =\frac{27}{\det(A)}.
Como isso vale \tfrac32, fica
\frac{27}{\det(A)}=\frac{3}{2}.

Passo 3

Resolvendo para \det(A),
\det(A) =27\cdot\frac{2}{3} =18.

Passo 4

Agora calculamos \det(\tfrac12 A):
\det\bigl(\tfrac12 A\bigr) =\bigl(\tfrac12\bigr)^3\det(A) =\frac{1}{8}\cdot18 =\frac{9}{4}.
Finalmente,
\det\bigl((\tfrac12 A)^{-1}\bigr) =\frac{1}{\det(\tfrac12 A)} =\frac{1}{9/4} =\frac{4}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{9}

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