Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem n. Sabendo que \operatorname{det}(A)=3 e \operatorname{det}(B)=4, pede-se que:
\operatorname{det}\left(2 A^{2} B^{3}\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor de \det\bigl(2A^2B^3\bigr), sabendo que A e B são matrizes quadradas de ordem n com \det(A)=3 e \det(B)=4. Vamos usar as propriedades de determinante: multiplicatividade, potência e efeito de escalar.

Passo 2

Pela propriedade multiplicativa do determinante,
\det\bigl(A^2B^3\bigr) =\det\bigl(A^2\bigr)\,\det\bigl(B^3\bigr).
Além disso, para uma matriz M de ordem n e inteiro k vale \det(M^k)=(\det M)^k.

Passo 3

Então
\det\bigl(A^2\bigr)=(\det A)^2=3^2=9,
\det\bigl(B^3\bigr)=(\det B)^3=4^3=64,
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\det\bigl(A^2B^3\bigr)=9\cdot64=576.

Passo 4

Por fim, ao multiplicar a matriz A^2B^3 pelo escalar 2, cada linha é multiplicada por 2, gerando um fator 2^n no determinante. Assim,
\det\bigl(2A^2B^3\bigr) =2^n\;\det\bigl(A^2B^3\bigr) =2^n\cdot576.

Resposta

\det\bigl(2A^2B^3\bigr)=576\;2^n.

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