Questão B. (2-vetores em \mathbb{R}^{3} )
Se \vec{i}=(1,0,0) e \vec{j}=(0,1,0) e \vec{k}=(0,0,1) então podemos escrever um vetor \vec{u}=(a, b, c) de \mathbb{R}^{3} como:
\vec{u}=a \vec{\imath}+b \vec{\jmath}+c \vec{k}
Dados \vec{v}=a_{1} \vec{\imath}+a_{2} \vec{\jmath}+a_{3} \vec{k}, \vec{w}=b_{1} \vec{\imath}+b_{2} \vec{\jmath}+b_{3} \vec{k} vetores em \mathbb{R}^{3} podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
\vec{v} \wedge \vec{w}=\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\imath} \wedge \vec{k}+\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right) \vec{\jmath} \wedge \vec{k}
Onde \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}, \vec{\imath} \wedge \vec{k} e \vec{\jmath} \wedge \vec{k} são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica \{\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}\}. Calcule \vec{v} \wedge \vec{w} onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades: \vec{\imath} \wedge \vec{\jmath}=-\vec{\jmath} \wedge \vec{\imath}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3
\vec{v}=a_{1}\vec{\imath}+a_{2}\vec{\jmath}+a_{3}\vec{k}, \qquad \vec{w}=b_{1}\vec{\imath}+b_{2}\vec{\jmath}+b_{3}\vec{k},
e define o 2‑vetor (paralelogramo orientado) \vec{v}\wedge\vec{w} pela soma dos determinantes 2×2 multiplicando as base 2‑formas:
\vec{v}\wedge\vec{w}=\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}\\[4pt] b_{1}&b_{2}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}\\[4pt] b_{1}&b_{3}\end{pmatrix}\vec{\imath}\wedge k +\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{2}&a_{3}\\[4pt] b_{2}&b_{3}\end{pmatrix}\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
O que se pede:
  • Calcular explicitamente \vec{v}\wedge\vec{w} em termos de a_i e b_i.
  • Mostrar que \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=-\vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}.]

Passo 2

Breve explicação sobre determinante 2×2 (passo didático, sem pular etapas):
  • Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] u & v\end{pmatrix}
o determinante é dado por
\operatorname{det}\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] u & v\end{pmatrix}=xv-yu.
  • Geometricamente, \operatorname{det}\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] u & v\end{pmatrix} é a área orientada do paralelogramo gerado pelos vetores (x,u) e (y,v) no plano; o sinal indica a orientação (trocar a ordem dos vetores troca o sinal).]

Passo 3

Aplicando a fórmula do determinante ao primeiro coeficiente (o que multiplica \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}):
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2}\\[4pt] b_{1} & b_{2}\end{pmatrix} = a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}.
Explicando passo a passo: multiplica-se o elemento da primeira linha, primeira coluna pelo elemento da segunda linha, segunda coluna ( a_{1}\cdot b_{2}) e subtrai-se o produto dos outros dois ( a_{2}\cdot b_{1}).]

Passo 4

Agora o segundo coeficiente (o que multiplica \vec{\imath}\wedge k):
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{1} & a_{3}\\[4pt] b_{1} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1}.
Mesma regra: primeiro diagonal menos segunda diagonal.]

Passo 5

E o terceiro coeficiente (o que multiplica \vec{\jmath}\wedge\vec{k}):
\operatorname{det}\begin{pmatrix}a_{2} & a_{3}\\[4pt] b_{2} & b_{3}\end{pmatrix} = a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}.]

Passo 6

Agora montamos \vec{v}\wedge\vec{w} juntando os três coeficientes que acabamos de calcular:
\vec{v}\wedge\vec{w}=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath} +(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge k +(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}.
Comentário útil (para usar na prova): esses três coeficientes são exatamente as componentes do produto vetorial \vec{v}\times\vec{w} na base canônica; portanto há uma forte relação entre o 2‑vetor orientado e o vetor perpendicular usado correntemente em \mathbb{R}^3.

Passo 7

Mostrar que \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=-\vec{\jmath}\wedge\vec{\imath} (prova direta usando a definição):
  • Primeiro calcule \vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}. Para \vec{\imath}=(1,0,0) e \vec{\jmath}=(0,1,0) os determinantes são
\operatorname{det}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}=1,\qquad \operatorname{det}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=0,\qquad \operatorname{det}\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=0.
Logo
\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=1\cdot\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+0+0=\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
(Isto é apenas verificar a coerência com a base.)
  • Agora calcule \vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}. Para \vec{\jmath}=(0,1,0) e \vec{\imath}=(1,0,0) os determinantes são
\operatorname{det}\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot1=-1,\qquad \operatorname{det}\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}=0,\qquad \operatorname{det}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}=0.
Portanto
\vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}=(-1)\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+0+0=-\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}.
Isto prova que
\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=-\vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}.]

Passo 8

Comentário final e intuição: a propriedade que acabamos de provar é um caso do princípio geral de antissimetria das 2‑formas/2‑vetores: trocar a ordem dos geradores inverte o sinal, porque trocar linhas (ou colunas) em um determinante muda o sinal do determinante. Isso é útil na prova porque simplifica muitas contas e explica por que \vec{u}\wedge\vec{u}=0 (o determinante com linhas iguais é zero).

Resposta

(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\,\vec{\imath}\wedge k+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\,\vec{\jmath}\wedge\vec{k}\n
\vec{\imath}\wedge\vec{\jmath}=-\vec{\jmath}\wedge\vec{\imath}

Exercícios relacionados