Questão B. (2-vetores em
)
Se
e
e
então podemos escrever um vetor
de
como:
Dados
vetores em
podemos associar o 2 -vetor (isto é, um paralelogramo de área orientada) definido por:
Onde
e
são os paralelogramos gerados pelos vetores da base canônica
. Calcule
onde:
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Se
Mostre também que valem as seguintes propriedades:
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
e define o 2‑vetor (paralelogramo orientado)
pela soma dos determinantes 2×2 multiplicando as base 2‑formas:
O que se pede:
- Calcular explicitamente
em termos de e . - Mostrar que
.]
Passo 2
Breve explicação sobre determinante 2×2 (passo didático, sem pular etapas):
- Para uma matriz
o determinante é dado por
- Geometricamente,
é a área orientada do paralelogramo gerado pelos vetores e no plano; o sinal indica a orientação (trocar a ordem dos vetores troca o sinal).]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante ao primeiro coeficiente (o que multiplica
):
Explicando passo a passo: multiplica-se o elemento da primeira linha, primeira coluna pelo elemento da segunda linha, segunda coluna (
) e subtrai-se o produto dos outros dois (
).]
Passo 4
Agora o segundo coeficiente (o que multiplica
):
Mesma regra: primeiro diagonal menos segunda diagonal.]
Passo 5
E o terceiro coeficiente (o que multiplica
):
Passo 6
Agora montamos
juntando os três coeficientes que acabamos de calcular:
Comentário útil (para usar na prova): esses três coeficientes são exatamente as componentes do produto vetorial
na base canônica; portanto há uma forte relação entre o 2‑vetor orientado e o vetor perpendicular usado correntemente em
.
Passo 7
Mostrar que
(prova direta usando a definição):
- Primeiro calcule
. Para e os determinantes são
Logo
(Isto é apenas verificar a coerência com a base.)
- Agora calcule
. Para e os determinantes são
Portanto
Isto prova que
Passo 8
Comentário final e intuição: a propriedade que acabamos de provar é um caso do princípio geral de antissimetria das 2‑formas/2‑vetores: trocar a ordem dos geradores inverte o sinal, porque trocar linhas (ou colunas) em um determinante muda o sinal do determinante. Isso é útil na prova porque simplifica muitas contas e explica por que
(o determinante com linhas iguais é zero).