Questão 6 Uma bala de revólver de 5 gramas atinge horizontalmente um tanque de vidro de 10 metros de comprimento cheio de um líquido viscoso. Se a força resistiva do meio viscoso é igual a -10 v(t), sendo v(t) a velocidade instantânea da bala, e se a velocidade da bala é 250 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ao atingir o tanque, determine a velocidade que a bala terá ao deixar o tanque. Despreze o movimento vertical da bala.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo direitinho):
  • Massa da bala: m = 5\\ \text{g} = 0,005\\ \mathrm{kg}.
  • Comprimento do tanque (distância horizontal a percorrer): L = 10\\ \mathrm{m}.
  • Força resistiva do meio: \,F_{\text{res}}(t) = -10\,v(t)\, (em newtons se v está em \mathrm{m/s}). O sinal negativo indica que a força está sempre oposta ao sentido da velocidade.
  • Velocidade ao atingir o tanque (entrada): v(0) = v_0 = 250\\ \mathrm{m/s}.
  • Desprezar movimento vertical (apenas movimento horizontal importa).
O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade da bala ao deixar o tanque (isto é, encontrar v(L)). Se necessário, verificar se a bala chega até a saída do tanque ou se para antes.

Passo 2

Montar a equação de movimento (Lei de Newton) e interpretar as variáveis:
  • A segunda lei de Newton para a componente horizontal é
m\frac{dv}{dt} = F_{\text{res}}(t) = -10\,v(t).
Aqui v(t) é a velocidade horizontal da bala no instante t (unidade \mathrm{m/s}), m é a massa em \mathrm{kg} e \frac{dv}{dt} é a aceleração instantânea. Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente proporcional a v.

Passo 3

Resolver a equação no tempo (método de separação de variáveis) para ter v(t) e poder relacionar com a posição:
A ODE é
m\frac{dv}{dt} = -10\,v.
Separando variáveis e integrando,
\frac{dv}{v} = -\frac{10}{m}\,dt.
Integrando de 0 a t com condição inicial v(0)=v_0,
\ln\!\left(\frac{v(t)}{v_0}\right) = -\frac{10}{m}\,t.
Exponenciando,
v(t) = v_0 \exp\!\left(-\frac{10}{m}t\right).
Isso mostra que a velocidade decai exponencialmente com o tempo. Mas o problema pede a velocidade após uma distância L, não necessariamente em um tempo dado, então precisamos relacionar v com a posição x.

Passo 4

Relacionar velocidade com posição usando a regra da cadeia:
Usando \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}, substituímos na equação de Newton:
m\;v\frac{dv}{dx} = -10\,v.
Se v\neq 0 podemos cancelar v dos dois lados e obter uma equação simples em x:
m\frac{dv}{dx} = -10.
Essa é uma equação diferencial ordinária em relação a x (derivada de v em relação à posição), fácil de integrar.

Passo 5

Integrar em relação a x para achar v(x):
Integrando de x=0 (entrada do tanque, onde v=v_0) até uma posição genérica x,
\int_{v_0}^{v(x)} dv = -\frac{10}{m}\int_{0}^{x} dx.
Isso dá
v(x) - v_0 = -\frac{10}{m}\,x,
ou
v(x) = v_0 - \frac{10}{m}\,x.
Nota importante (didática): mesmo que a solução em função do tempo seja exponencial, a dependência da velocidade com a posição aqui é linear — isso ocorre porque a resistência é proporcional à velocidade; ao usar a relação dv/dt = v\,dv/dx obtemos cancelamento de v que transforma a dependência temporal exponencial em uma queda linear com a distância.

Passo 6

Aplicar os valores numéricos e verificar se a bala alcança a saída:
Calcular o coeficiente \dfrac{10}{m}:
\frac{10}{m}=\frac{10}{0,005}=2000\quad\text{(em unidades }\mathrm{s^{-1}}\text{ multiplicando por }\mathrm{m}\text{ dá }\mathrm{m/s^2}\text{ apropriado)}.á
Então
v(x)=250 - 2000\,x\quad(\mathrm{m/s}).
Avaliar em x=L=10\\ \mathrm{m}:
v(10)=250 - 2000\cdot 10 = 250 - 20000 = -19750\\ \mathrm{m/s}.
Um valor negativo de velocidade aqui, dado que tomamos sentido positivo como o inicial, significa que o modelo prevê que a velocidade se tornaria nula e depois mudaria de sentido antes de atingir x=10. Fisicamente, a bala não vai ganhar velocidade negativa por si só — ela simplesmente para (velocidade 0) antes de chegar à saída; após isso, o modelo matemático continuaria e indicaria movimento invertido (mas na realidade a bala ficaria imobilizada no meio do fluido).
Calcular a distância até parar (onde v=0):
0 = v_0 - \frac{10}{m}\,x_{\text{parada}} \quad\Rightarrow\quad x_{\text{parada}} = \frac{m\,v_0}{10}.
Substituindo:
x_{\text{parada}} = \frac{0,005\cdot 250}{10} = \frac{1,25}{10} = 0,125\\ \mathrm{m}.
Ou seja, a bala pára após 0,125\\ \mathrm{m} (12,5 cm) dentro do líquido — muito antes dos 10\\ \mathrm{m} de comprimento do tanque.

Passo 7

Interpretação final e resposta à pergunta pedida:
  • Como a bala para em x_{\text{parada}}=0,125\\ \mathrm{m} dentro do tanque, ela não alcança a saída em x=10\\ \mathrm{m}.
  • Portanto não existe uma velocidade ao “deixar o tanque”, porque ela não sai. Se alguém perguntasse numericamente v(L) na fórmula linear obtida, daria um valor negativo (não físico) indicando que o modelo prevê que a bala teria mudado de sentido antes de L; a conclusão física correta é que a bala ficou parada antes.

Resposta

A bala não alcança a saída; ela para após x_{\text{parada}}=0,125\\ \mathrm{m}. Portanto não há velocidade ao deixar o tanque (a bala não sai).

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