Questão 6 Uma bala de revólver de 5 gramas atinge horizontalmente um tanque de vidro de 10 metros de comprimento cheio de um líquido viscoso. Se a força resistiva do meio viscoso é igual a
, sendo
a velocidade instantânea da bala, e se a velocidade da bala é
ao atingir o tanque, determine a velocidade que a bala terá ao deixar o tanque. Despreze o movimento vertical da bala.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo direitinho):
- Massa da bala:
. - Comprimento do tanque (distância horizontal a percorrer):
. - Força resistiva do meio:
(em newtons se está em ). O sinal negativo indica que a força está sempre oposta ao sentido da velocidade. - Velocidade ao atingir o tanque (entrada):
. - Desprezar movimento vertical (apenas movimento horizontal importa).
O que o problema pede:
- Determinar a velocidade da bala ao deixar o tanque (isto é, encontrar
). Se necessário, verificar se a bala chega até a saída do tanque ou se para antes.
Passo 2
Montar a equação de movimento (Lei de Newton) e interpretar as variáveis:
- A segunda lei de Newton para a componente horizontal é
Aqui
é a velocidade horizontal da bala no instante
(unidade
),
é a massa em
e
é a aceleração instantânea. Essa é uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem com coeficiente proporcional a
.
Passo 3
Resolver a equação no tempo (método de separação de variáveis) para ter
e poder relacionar com a posição:
A ODE é
A ODE é
Separando variáveis e integrando,
Integrando de
a
com condição inicial
,
Exponenciando,
Isso mostra que a velocidade decai exponencialmente com o tempo. Mas o problema pede a velocidade após uma distância
, não necessariamente em um tempo dado, então precisamos relacionar
com a posição
.
Passo 4
Relacionar velocidade com posição usando a regra da cadeia:
Usando , substituímos na equação de Newton:
Usando
Se
podemos cancelar
dos dois lados e obter uma equação simples em
:
Essa é uma equação diferencial ordinária em relação a
(derivada de
em relação à posição), fácil de integrar.
Passo 5
Integrar em relação a
para achar
:
Integrando de (entrada do tanque, onde
) até uma posição genérica
,
Integrando de
Isso dá
ou
Nota importante (didática): mesmo que a solução em função do tempo seja exponencial, a dependência da velocidade com a posição aqui é linear — isso ocorre porque a resistência é proporcional à velocidade; ao usar a relação
obtemos cancelamento de
que transforma a dependência temporal exponencial em uma queda linear com a distância.
Passo 6
Aplicar os valores numéricos e verificar se a bala alcança a saída:
Calcular o coeficiente :
Calcular o coeficiente
Então
Avaliar em
:
Um valor negativo de velocidade aqui, dado que tomamos sentido positivo como o inicial, significa que o modelo prevê que a velocidade se tornaria nula e depois mudaria de sentido antes de atingir
. Fisicamente, a bala não vai ganhar velocidade negativa por si só — ela simplesmente para (velocidade
) antes de chegar à saída; após isso, o modelo matemático continuaria e indicaria movimento invertido (mas na realidade a bala ficaria imobilizada no meio do fluido).
Calcular a distância até parar (onde
):
Substituindo:
Ou seja, a bala pára após
(12,5 cm) dentro do líquido — muito antes dos
de comprimento do tanque.
Passo 7
Interpretação final e resposta à pergunta pedida:
- Como a bala para em
dentro do tanque, ela não alcança a saída em . - Portanto não existe uma velocidade ao “deixar o tanque”, porque ela não sai. Se alguém perguntasse numericamente
na fórmula linear obtida, daria um valor negativo (não físico) indicando que o modelo prevê que a bala teria mudado de sentido antes de ; a conclusão física correta é que a bala ficou parada antes.
Resposta
A bala não alcança a saída; ela para após
. Portanto não há velocidade ao deixar o tanque (a bala não sai).