Questão 3
Um banco deseja estimar o tempo médio de atendimento aos clientes. Uma amostra de 40 clientes revelou um tempo médio de 12 minutos, com variância populacional de 16 minutos
.
- Construa um intervalo de confiança de
para a média populacional do tempo de atendimento.
- Qual a amplitude do intervalo de confiança?
- Qual deveria ser o tamanho da amostra para que a amplitude fosse metade do valor obtido no item anterior?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um banco que quer descobrir quanto tempo, em média, ele leva para atender os clientes. Eles têm uma amostra de 40 clientes onde, em média, cada atendimento durou 12 minutos, e a variância dos tempos de atendimento é de 16 minutos ao quadrado. Nossa missão é:
- Construir um intervalo de confiança de 90% para a média do tempo de atendimento.
- Descobrir qual é a amplitude desse intervalo.
- Calcular o tamanho da amostra necessário para que essa amplitude seja metade do que obtivemos no item anterior.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Estatística, especificamente sobre Intervalo de Confiança para a média populacional quando a variância é conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Basicamente, ele nos dá uma faixa de valores onde a média verdadeira da população provavelmente está, com um certo nível de confiança (neste caso, 90%).
Como a variância é conhecida, vamos usar a Distribuição Normal para calcular o intervalo.
A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média da amostra (12 minutos). -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (90%). -
é o desvio padrão populacional (a raiz quadrada da variância, então ). -
é o tamanho da amostra (40 clientes).
Passo 3
Agora, vamos determinar o valor de
para um intervalo de confiança de 90%. Em uma distribuição normal, os 90% centrais estão entre
e
.
Consultando uma tabela de valores z ou usando uma calculadora, encontramos que:
Passo 4
Com todos os valores em mãos, vamos calcular o erro padrão ($ \frac{\sigma}{\sqrt{n}} $):
Passo 5
Agora, multiplicamos o valor de
pelo erro padrão:
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média da amostra:
Isso nos dá:
Resposta
- O intervalo de confiança de 90% para a média do tempo de atendimento é de 10,96 minutos a 13,04 minutos.
- A amplitude desse intervalo é de 2,08 minutos.
- Para que a amplitude seja metade, ou seja, 1,04 minutos, o tamanho da amostra necessário é de aproximadamente 160 clientes.